Considere o PVI: y^{\prime}=\sqrt[3]{y}, \operatorname{com} y\left(x_{0}\right)=y_{0}.
a) Para quais valores de \left(x_{0}, y_{0}\right) o Teorema da Existência e Unicidade garante uma solução única?
b) Mostre que para o PVI y^{\prime}=\sqrt[3]{y} \operatorname{com} y(0)=0, existem pelo menos duas soluções distintas. Encontre-as e explique por que isso não contradiz o teorema.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' = \sqrt[3]{y},\quad y(x_{0})=y_{0}
e pergunta: (a) para quais (x_{0},y_{0}) o Teorema de Existência e Unicidade vale; (b) mostrar que para y'=\sqrt[3]{y}, y(0)=0, há pelo menos duas soluções distintas e explicar por que isso não fura o teorema. O conteúdo é teoria de existência e unicidade de ODEs e resolução de equações separáveis.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Picard–Lindel"of: ele exige que f(x,y)=y^{1/3} e \partial f/\partial y sejam cont’inuos numa vizinhan\c{c}a de (x_{0},y_{0}). Aqui
f(x,y)=y^{1/3}
'e cont’inua para todo y, mas
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{3}\,y^{-2/3}
deixa de ser cont’inua em y=0.

Passo 3

Concluímos que o Teorema garante existência e unicidade local sempre que y_{0}\neq 0. Ou seja, para todo x_{0}\in\mathbb{R} e y_{0}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Para resolver a ODE separável fazemos
\frac{dy}{y^{1/3}} = dx
e integramos ambos os lados:
\int y^{-1/3}\,dy = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,y^{2/3} = x + C.
Logo a solução geral é
y(x)=\Bigl(\tfrac{2}{3}(x+C)\Bigr)^{3/2}.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=0 temos
\frac{3}{2}\,0^{2/3} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=0,
de onde surge a primeira solução não trivial
y_{1}(x)=\Bigl(\tfrac{2}{3}x\Bigr)^{3/2}.

Passo 6

Verificamos também que
y_{2}(x)\equiv 0
é solução: basta notar que y_{2}'(x)=0 e \sqrt[3]{y_{2}(x)}=0, logo satisfaz a ODE e y_{2}(0)=0.

Passo 7

Portanto há pelo menos duas soluções distintas para o mesmo PVI:
\,y_{1}(x)=(\tfrac{2}{3}x)^{3/2} e y_{2}(x)=0.

Passo 8

Isso não contradiz o Teorema porque em torno de y=0 a derivada parcial \partial f/\partial y não é contínua, ou seja, f não é Lipschitz em y=0, então o Teorema não garante unicidade nesse caso.

Resposta

(a) Para todo x_{0}\in\mathbb{R} e y_{0}\neq 0.
(b) Duas soluções são
y_{1}(x)=0, \quad y_{2}(x)=\Bigl(\tfrac{2}{3}x\Bigr)^{3/2},
e não há contradição pois f(y)=y^{1/3} não é Lipschitz em y=0.

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