Considere o PVI:
.
a) Para quais valores de
o Teorema da Existência e Unicidade garante uma solução única?
b) Mostre que para o PVI
, existem pelo menos duas soluções distintas. Encontre-as e explique por que isso não contradiz o teorema.
a) Para quais valores de
b) Mostre que para o PVI
Passo 1
O enunciado dá o PVI
e pergunta: (a) para quais
o Teorema de Existência e Unicidade vale; (b) mostrar que para
,
, há pelo menos duas soluções distintas e explicar por que isso não fura o teorema. O conteúdo é teoria de existência e unicidade de ODEs e resolução de equações separáveis.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Picard–Lindel"of: ele exige que
e
sejam cont’inuos numa vizinhan\c{c}a de
. Aqui
'e cont’inua para todo
, mas
deixa de ser cont’inua em
.
Passo 3
Concluímos que o Teorema garante existência e unicidade local sempre que
. Ou seja, para todo
e
.
Passo 4
Para resolver a ODE separável fazemos
e integramos ambos os lados:
Logo a solução geral é
Passo 5
Impondo a condição inicial
temos
de onde surge a primeira solução não trivial
Passo 6
Verificamos também que
é solução: basta notar que
e
, logo satisfaz a ODE e
.
Passo 7
Portanto há pelo menos duas soluções distintas para o mesmo PVI:
e
.
Passo 8
Isso não contradiz o Teorema porque em torno de
a derivada parcial
não é contínua, ou seja,
não é Lipschitz em
, então o Teorema não garante unicidade nesse caso.
Resposta
(a) Para todo
e
.
(b) Duas soluções são
(b) Duas soluções são
e não há contradição pois
não é Lipschitz em
.