Considere a EDO
d yd x=y(y-2)(x-1)x
a) (1,0 ponto) Ache, se houver, a(s) solução(ções) de equilíbrio dessa EDO.
b)(1,0 ponto) O PVI
d yd x=y(y-2)(x-1)x, y(1)=3
tem solução única? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
dydx = y(y-2)(x-1)x
Parte a): Precisamos encontrar as soluções de equilíbrio dessa EDO. Soluções de equilíbrio são aquelas onde y é constante, ou seja, dydx = 0 .
Parte b): Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a mesma EDO e a condição inicial y(1) = 3 . Devemos verificar se esse PVI tem uma solução única, justificando nossa resposta.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a): Para encontrar as soluções de equilíbrio, precisamos determinar os valores de y que tornam dydx = 0 .
A equação é:
dydx = y(y-2)(x-1)x
Para que dydx = 0 , o numerador deve ser igual a zero:
y(y - 2)(x - 1) = 0
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
  1. y = 0
  2. y - 2 = 0 Rightarrow y = 2
  3. x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
No entanto, soluções de equilíbrio são funções constantes, ou seja, valores de y que não dependem de x . Portanto, x = 1 não representa uma solução de equilíbrio, pois depende de x .
Então, temos duas soluções de equilíbrio:
y = 0 e y = 2

Passo 3

Parte b): Agora, vamos analisar o PVI:
dydx = y(y-2)(x-1)x, y(1) = 3
Queremos saber se existe uma solução única para esse problema.
Para determinar a unicidade da solução, usamos o Teorema da Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função f(x, y) = y(y-2)(x-1)x e sua derivada parcial em relação a y , partial fpartial y , são contínuas em uma região que contém o ponto inicial (x0, y0) , então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Vamos verificar a continuidade de f(x, y) e partial fpartial y no ponto (1, 3) .
Primeiro, note que f(x, y) tem denominador x , então há uma descontinuidade em x = 0 . Mas nosso ponto inicial é x = 1 , que não está na descontinuidade.
Agora, calculamos a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = (y-2)(x-1)x + y cdot (x-1)x = (2y - 2)(x-1)x
Essa derivada também é contínua em (1, 3) , já que x = 1 não provoca descontinuidade.
Portanto, as condições do teorema são satisfeitas, garantindo que existe uma solução única para o PVI dado.

Resposta

a) As soluções de equilíbrio da EDO são y = 0 e y = 2 .
b) Sim, o PVI tem solução única, pois a função e sua derivada parcial são contínuas no ponto inicial, satisfazendo as condições do teorema de existência e unicidade.

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