Considere a EDO
a) (1,0 ponto) Ache, se houver, a(s) solução(ções) de equilíbrio dessa EDO.
b)(1,0 ponto) O PVI
tem solução única? Justifique sua resposta.
b)(1,0 ponto) O PVI
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Parte a): Precisamos encontrar as soluções de equilíbrio dessa EDO. Soluções de equilíbrio são aquelas onde
é constante, ou seja,
.
Parte b): Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a mesma EDO e a condição inicial
. Devemos verificar se esse PVI tem uma solução única, justificando nossa resposta.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a): Para encontrar as soluções de equilíbrio, precisamos determinar os valores de
que tornam
.
A equação é:
Para que
, o numerador deve ser igual a zero:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
No entanto, soluções de equilíbrio são funções constantes, ou seja, valores de
que não dependem de
. Portanto,
não representa uma solução de equilíbrio, pois depende de
.
Então, temos duas soluções de equilíbrio:
Passo 3
Parte b): Agora, vamos analisar o PVI:
Queremos saber se existe uma solução única para esse problema.
Para determinar a unicidade da solução, usamos o Teorema da Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em uma região que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Vamos verificar a continuidade de
e
no ponto
.
Primeiro, note que
tem denominador
, então há uma descontinuidade em
. Mas nosso ponto inicial é
, que não está na descontinuidade.
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também é contínua em
, já que
não provoca descontinuidade.
Portanto, as condições do teorema são satisfeitas, garantindo que existe uma solução única para o PVI dado.
Resposta
a) As soluções de equilíbrio da EDO são
e
.
b) Sim, o PVI tem solução única, pois a função e sua derivada parcial são contínuas no ponto inicial, satisfazendo as condições do teorema de existência e unicidade.