Resolva DUAS (ESCOLHER) das EDO 's abaixo usando o método que for conveniente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial onde a derivada de em relação a é igual a . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e torne mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar . Isso significa que . Essa substituição é útil porque transforma nossa equação em termos de e , facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra do produto, temos:
Isso porque .
Passo 4
Substituímos na equação original:
Como , substituímos na fração:
Portanto, temos:
Passo 5
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 6
Agora, separamos as variáveis e :
Isso é possível porque estamos reorganizando a equação para integrar ambos os lados separadamente.
Passo 7
Vamos integrar os dois lados:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Substituímos de volta na equação:
Podemos reorganizar para facilitar:
- xy - ln|y| + ln|x| = ln|x| + C
Simplificando, percebemos que os termos ln|x| se cancelam: