Resolva DUAS (ESCOLHER) das EDO 's abaixo usando o método que for conveniente.
d yd x=yx-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial onde a derivada de y em relação a x é igual a yx - y . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e torne mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar v = yx . Isso significa que y = v cdot x . Essa substituição é útil porque transforma nossa equação em termos de v e x , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x . Usando a regra do produto, temos:
dydx = v + x cdot dvdx
Isso porque ddx(v cdot x) = v cdot dxdx + x cdot dvdx = v + x cdot dvdx .

Passo 4

Substituímos dydx na equação original:
v + x cdot dvdx = yx - y
Como y = v cdot x , substituímos na fração:
yx - y = v cdot xx - v cdot x = v cdot xx(1 - v) = v1 - v
Portanto, temos:
v + x cdot dvdx = v1 - v

Passo 5

Vamos isolar dvdx :
x cdot dvdx = v1 - v - v
Simplificando o lado direito:
v1 - v - v = v - v(1 - v)1 - v = v - v + v^21 - v = v^21 - v
Então:
x cdot dvdx = v^21 - v

Passo 6

Agora, separamos as variáveis v e x :
(1 - v)v^2 dv = 1x dx
Isso é possível porque estamos reorganizando a equação para integrar ambos os lados separadamente.

Passo 7

Vamos integrar os dois lados:
integral 1 - vv^2 dv = integral 1x dx
Simplificando a integral do lado esquerdo:
integral ( 1v^2 - 1v ) dv = integral 1x dx
Integrando termo a termo:
- 1v - ln|v| = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Substituímos v = yx de volta na equação:
- xy - ln| yx | = ln|x| + C
Podemos reorganizar para facilitar:
- xy - ln|y| + ln|x| = ln|x| + C
Simplificando, percebemos que os termos ln|x| se cancelam:
- xy - ln|y| = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
- xy - ln|y| = C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados