(2,0 pontos) Ache a EDO exata equivalente a (x y+x^2+1) d x+x^2 d y=0 e resolva a EDO exata encontrada (considere x>0 quando estiver fazendo os cálculos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para encontrar uma forma exata dela e resolver essa EDO. O conteúdo aqui envolve EDOs exatas, que são aquelas onde podemos encontrar uma função que depende de x e y que iguala a constante. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a EDO é exata e, se não for, encontrar um “fator integrante” para torná-la exata. Depois, integraremos para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da EDO que nos foram dadas. A equação é:
(x y + x^2 + 1) , dx + x^2 , dy = 0
Aqui, temos:
  • M(x, y) = x y + x^2 + 1 (coeficiente de dx )
  • N(x, y) = x^2 (coeficiente de dy )

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa EDO é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x :
partial Mpartial y = x
partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a EDO não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a EDO por ele, a torne exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de x , ou seja, mu(x) .
A condição para que mu(x) torne a EDO exata é:
dmudx = mu cdot ( partial Mpartial y - partial Npartial xN )
Substituindo os valores que já encontramos:
dmudx = mu cdot ( x - 2xx^2 ) = mu cdot ( -xx^2 ) = mu cdot ( -1x )

Passo 5

Essa é uma equação diferencial para mu(x) :
dmudx = -mux
Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
dmumu = -dxx
Integrando ambos os lados:
ln|mu| = -ln|x| + C
Simplificando:
mu = Kx
Como estamos procurando um fator integrante, podemos escolher K = 1 :
mu(x) = 1x

Passo 6

Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante mu(x) = 1x :
1x (x y + x^2 + 1) , dx + 1x cdot x^2 , dy = 0
Simplificando:
(y + x + 1x) , dx + x , dy = 0
Agora, essa nova EDO é exata.

Passo 7

Como agora a EDO é exata, sabemos que existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = y + x + 1x
partial Fpartial y = x
Vamos integrar partial Fpartial x em relação a x para encontrar F(x, y) :
F(x, y) = integral ( y + x + 1x ) dx = yx + x^22 + ln|x| + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 8

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a partial Fpartial y que sabemos ser x :
partial Fpartial y = x + h'(y) = x
Isso implica:
h'(y) = 0 Rightarrow h(y) = constante
Podemos desprezar a constante, então a função F(x, y) fica:
F(x, y) = yx + x^22 + ln x

Resposta

A solução geral da EDO é:
x y + x^22 + ln x = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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