(2,0 pontos) Ache a EDO exata equivalente a
e resolva a EDO exata encontrada (considere
quando estiver fazendo os cálculos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para encontrar uma forma exata dela e resolver essa EDO. O conteúdo aqui envolve EDOs exatas, que são aquelas onde podemos encontrar uma função que depende de
e
que iguala a constante. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a EDO é exata e, se não for, encontrar um “fator integrante” para torná-la exata. Depois, integraremos para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da EDO que nos foram dadas. A equação é:
Aqui, temos:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa EDO é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a EDO por ele, a torne exata. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
A condição para que
torne a EDO exata é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial para
:
Podemos resolver essa equação separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Como estamos procurando um fator integrante, podemos escolher
:
Passo 6
Agora, multiplicamos a EDO original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, essa nova EDO é exata.
Passo 7
Como agora a EDO é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
que sabemos ser
:
Isso implica:
Podemos desprezar a constante, então a função
fica:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.