Considere a EDO y^{\prime \prime}-2 \alpha y^{\prime \prime}+\left(\alpha^{2}+1\right) y=0. Determine os valores de \alpha \in \mathbb{R} para que a solução geral y(t) satisfaça \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes \r
\;y'' - 2\alpha\,y' + (\alpha^2+1)\,y = 0, \r
e pede os valores de \alpha\in\mathbb{R} tais que a solução geral y(t) satisfaz \r
\lim_{t\to\infty}y(t)=0. \r
O conteúdo aqui é resolução de EDO lineares por raízes da equação característica e análise de estabilidade das soluções exponenciais.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{r t}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica \r
\;r^2 - 2\alpha\,r + (\alpha^2+1) = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante \r
\Delta = ( -2\alpha )^2 - 4\,(1)\,(\alpha^2+1) = 4\alpha^2 - 4\alpha^2 - 4 = -4 < 0. \r
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas \r
\;r = \frac{2\alpha \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \alpha \pm i.

Passo 4

Com raízes r=\alpha\pm i, a solução geral fica \r
\;y(t)=e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr), \r
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para que \lim_{t\to\infty}y(t)=0 para toda escolha de C_1,C_2, precisamos que o fator exponencial e^{\alpha t} tenda a zero. Como \cos t e \sin t são limitados, isso ocorre exatamente quando \r
\alpha < 0. \r
Se \alpha=0, a solução oscila sem decair; se \alpha>0, cresce exponencialmente.

Resposta

\alpha<0

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