Considere a EDO
. Determine os valores de
para que a solução geral
satisfaça
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes \r
e pede os valores de
tais que a solução geral
satisfaz \r
O conteúdo aqui é resolução de EDO lineares por raízes da equação característica e análise de estabilidade das soluções exponenciais.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica \r
Passo 3
Calculamos o discriminante \r
Como
, as raízes são complexas conjugadas \r
Passo 4
Com raízes
, a solução geral fica \r
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Para que
para toda escolha de
, precisamos que o fator exponencial
tenda a zero. Como
e
são limitados, isso ocorre exatamente quando \r
Se
, a solução oscila sem decair; se
, cresce exponencialmente.