Determine a solução geral das seguintes EDOs:
(b) (1,5 \mathrm{pts}) 9 x^{2} y^{\prime \prime}+15 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de Euler–Cauchy
9x^{2}y'' + 15x\,y' + y = 0.
Para resolver, vamos usar a ansatz característica de Cauchy–Euler: procurar soluções da forma y=x^{m}.

Passo 2

Supondo
y = x^{m},
temos
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação original:

Passo 3

9x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] +15x\bigl[mx^{m-1}\bigr] + x^{m} = 0
Simplificando o fator x^{m}\neq0:
9\,m(m-1) + 15\,m + 1 = 0.

Passo 4

A equação característica é
9m^{2} - 9m + 15m + 1 = 9m^{2} + 6m + 1 = 0.
O discriminante é
\Delta = 6^{2} - 4\cdot9\cdot1 = 36 - 36 = 0,
logo há uma raiz dupla,
m = -\frac{6}{2\cdot9} = -\frac{1}{3}.

Passo 5

Para raiz dupla em equação de Euler, a segunda solução é dada por y_{2}=y_{1}\ln(x). Assim,
y_{1}(x) = x^{-\tfrac{1}{3}},
y_{2}(x) = x^{-\tfrac{1}{3}}\ln(x).
Logo, a solução geral é combinação linear dessas duas.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{-\tfrac{1}{3}} + C_{2}\,x^{-\tfrac{1}{3}}\ln(x),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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