• (2,0 pts) Problema 3. Resolva o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=f(t) \\ y(0)=y^{\prime}(0)=0 \end{array} \quad, \quad \text { onde } \quad f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq t<1 \\ 4, & \text { se } 1 \leq t<3 \\ 0, & \text { se } t \geq 3\end{cases}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
\begin{cases} y''+y'+y=f(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
onde
f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t<1,\\\\ 4,&1\le t<3,\\\\ 0,&t\ge3. \end{cases}
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento em trechos, e vamos usar a transformada de Laplace e funções degrau para montar a solução por superposição temporal.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace com condições nulas, temos
(s^2+s+1)\,Y(s)=F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Escrevendo
f(t)=1\cdot\bigl(u(t)-u(t-1)\bigr)+4\cdot\bigl(u(t-1)-u(t-3)\bigr) =1+3\,u(t-1)-4\,u(t-3),
sua transformada é
F(s)=\frac{1}{s} +3\frac{e^{-s}}{s} -4\frac{e^{-3s}}{s}.

Passo 3

Logo
Y(s) =\frac{F(s)}{s^2+s+1} =\frac{1}{s(s^2+s+1)} +3\,\frac{e^{-s}}{s(s^2+s+1)} -4\,\frac{e^{-3s}}{s(s^2+s+1)}.
Cada termo será invertido separadamente usando deslocamento no tempo.

Passo 4

Primeiro, calculamos a resposta ao degrau unitário
y_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s(s^2+s+1)}\Bigr\}.
Fazendo frações parciais,
\frac{1}{s(s^2+s+1)} =\frac{1}{s}-\frac{s+1}{s^2+s+1}.
Como
s^2+s+1=\bigl(s+\tfrac12\bigr)^2+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2,
-\frac{s+1}{s^2+s+1} =-\frac{s+\tfrac12}{(\cdots)}-\frac{\tfrac12}{(\cdots)},
invertemos e obtemos
y_1(t) =1 -e^{-t/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) -\frac{1}{\sqrt3}\,e^{-t/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr).

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento,
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{e^{-a s}}{s(s^2+s+1)}\Bigr\} =y_1(t-a)\,u(t-a).
Assim a solução completa é
y(t) =y_1(t) +3\,y_1(t-1)\,u(t-1) -4\,y_1(t-3)\,u(t-3).

Passo 6

Escrevendo em forma de trechos:
para 0\le t<1:
y(t)=y_1(t).
para 1\le t<3:
y(t)=y_1(t)+3\,y_1(t-1).
para t\ge3:
y(t)=y_1(t)+3\,y_1(t-1)-4\,y_1(t-3).

Resposta

Para
y_1(t) =1 -e^{-t/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr) -\frac{1}{\sqrt3}e^{-t/2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr),
temos
(a) Se 0\le t<1:
y(t)=y_1(t).
(b) Se 1\le t<3:
y(t)=y_1(t)+3\,y_1(t-1).
(c) Se t\ge3:
y(t)=y_1(t)+3\,y_1(t-1)-4\,y_1(t-3).

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