Determine a solução geral das seguintes EDOs:
(a) (2,0 \mathrm{pts}) y^{\prime}=\frac{y}{x-x^{2} y}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x - x^{2}y}\,.
O conteúdo aqui é usar uma substituição que torne a equação separável. Vamos usar a troca de variável adequada.

Passo 2

Definimos
v = x\,y.
Então
y = \frac{v}{x}, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - v}{x^{2}}.
Como x - x^{2}y = x(1 - v), ao substituir na EDO original obtemos
\frac{x\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - v}{x^{2}} = \frac{\frac{v}{x}}{x(1 - v)} = \frac{v}{x^{2}(1 - v)}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^{2} fica
x\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - v = \frac{v}{1 - v} \;\;\Longrightarrow\;\; x\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = v + \frac{v}{1 - v} = \frac{v(2 - v)}{1 - v}.
Isso é separável:
\frac{1 - v}{v(2 - v)}\,\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{x}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em v:
\frac{1 - v}{v(2 - v)} = \frac12\frac{1}{v} \;-\;\frac12\frac{1}{2-v}.
Logo,
\int\frac{1 - v}{v(2 - v)}\,\mathrm{d}v = \tfrac12\ln|v| + \tfrac12\ln|2 - v| = \ln\sqrt{\bigl|v(2-v)\bigr|},
e
\int\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C.
Portanto
\ln\bigl|v(2 - v)\bigr| = 2\,\ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad v(2 - v) = C\,x^{2},
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a v = x\,y, obtemos a solução implícita
x\,y\bigl(2 - x\,y\bigr) = C\,x^{2}.
Para escrever explicitamente em y, resolvemos a quadrática
x^{2}y^{2} - 2x\,y + C\,x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^{2} - 4C\,x^{2}}}{2x} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - C\,x^{2}}}{x}.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
x\,y\bigl(2 - x\,y\bigr) = C\,x^{2},
ou explicitamente por
y(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - C\,x^{2}}}{x},
onde C é constante arbitrária.

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