• (2,0 pts) Problema 4. Uma barra metálica unidimensional de comprimento L=3 unidades tem suas extremidades mantidas a temperatura zero durante todo o tempo. A difusividade térmica da barra é \alpha^{2}=\frac{1}{9}. No instante inicial (t=0), a temperatura ao longo da barra é dada por:
u(x, 0)=5 \sin \left(\frac{\pi x}{3}\right)-2 \sin \left(\frac{2 \pi x}{3}\right)+3 \sin (\pi x), \quad 0<x<3
(a) (1,5pts). Determine a expressão da temperatura u(x, t) ao longo da barra para t>0.
(b) (0,5pts). O que ocorre com a temperatura quando t \rightarrow \infty (justifique).

Passo 1

Temos uma barra de comprimento L=3 com contorno em temperatura zero u(0,t)=u(3,t)=0 e difusividade térmica \alpha^{2}=\tfrac{1}{9}. No instante inicial a distribuição de temperatura é
u(x,0)=5\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{3}\Bigr)-2\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{3}\Bigr)+3\sin(\pi x), \quad 0<x<3.
Queremos achar u(x,t) para t>0 resolvendo a equação do calor por separação de variáveis e expansão em funções próprias.

Passo 2

A solução geral para contornos u(0,t)=u(3,t)=0 é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_{n} \exp\!\Bigl[-\alpha^{2}\bigl(\tfrac{n\pi}{3}\bigr)^{2}t\Bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).

Passo 3

Comparando com a condição inicial vemos que só aparecem os modos n=1,2,3, com
A_{1}=5,\quad A_{2}=-2,\quad A_{3}=3,
e todos os demais A_{n}=0.

Passo 4

Substituindo \alpha^{2}=\tfrac{1}{9} e os coeficientes, obtemos para t>0:
u(x,t) =5\,\exp\!\bigl[-\tfrac{1}{9}\,(\tfrac{\pi}{3})^{2}t\bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{3}\Bigr) -2\,\exp\!\bigl[-\tfrac{1}{9}\,(\tfrac{2\pi}{3})^{2}t\bigr]\, \sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{3}\Bigr) +3\,\exp\!\bigl[-\tfrac{1}{9}\,(\pi)^{2}t\bigr]\, \sin(\pi x).
Ou seja,
u(x,t) =5\,e^{-\pi^{2}t/81}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{3}\Bigr) -2\,e^{-4\pi^{2}t/81}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{3}\Bigr) +3\,e^{-\pi^{2}t/9}\,\sin(\pi x).

Passo 5

Quando t\to\infty, todas as exponenciais \exp(-c\,t) vão a zero, logo
u(x,t)\longrightarrow 0
em toda a barra, pois o calor se dissipa e a temperatura tende à dos contornos.

Resposta

(a) u(x,t) =5\,e^{-\pi^{2}t/81}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{3}\Bigr) -2\,e^{-4\pi^{2}t/81}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi x}{3}\Bigr) +3\,e^{-\pi^{2}t/9}\,\sin(\pi x).
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}u(x,t)=0.

Exercícios relacionados