- (2,0 pts) Problema 4. Uma barra metálica unidimensional de comprimento
unidades tem suas extremidades mantidas a temperatura zero durante todo o tempo. A difusividade térmica da barra é
. No instante inicial
, a temperatura ao longo da barra é dada por:
(a) (1,5pts). Determine a expressão da temperatura
ao longo da barra para
.
(b) (0,5pts). O que ocorre com a temperatura quando
(justifique).
(b) (0,5pts). O que ocorre com a temperatura quando
Passo 1
Temos uma barra de comprimento
com contorno em temperatura zero
e difusividade térmica
. No instante inicial a distribuição de temperatura é
Queremos achar
para
resolvendo a equação do calor por separação de variáveis e expansão em funções próprias.
Passo 2
A solução geral para contornos
é
Passo 3
Comparando com a condição inicial vemos que só aparecem os modos
, com
e todos os demais
.
Passo 4
Substituindo
e os coeficientes, obtemos para
:
Ou seja,
Passo 5
Quando
, todas as exponenciais
vão a zero, logo
em toda a barra, pois o calor se dissipa e a temperatura tende à dos contornos.
Resposta
(a)
(b)
.