Considere a EDO
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Obtenha a sua solução geral quando
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Obtenha a sua solução geral quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem: $ y’’’ - y’’ + y’ - y = -x^3 + x^2 - x - 2 $. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, incluindo encontrar a solução homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. Essa parte é importante porque a solução geral será a soma da solução homogênea com uma solução particular que vamos encontrar depois.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos $ y = e^{rt} $ na EDO, resultando na equação cúbica característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Testando r = 1:
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
As raízes são $ r = 1 $ e $ r = \pm i $.
Passo 5
Com as raízes $ r = 1 $, $ r = i $ e $ r = -i $, a solução homogênea é:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’’ - y’’ + y’ - y = -x^3 + x^2 - x - 2 $. Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 7
Vamos derivar $ y_p(x) $ para substituir na EDO:
Substituindo na equação:
Passo 8
Organizando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.