Considere a EDO y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=G(x).
Obtenha a sua solução geral quando G(x)=-x^3+x^2-x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem: $ y’’’ - y’’ + y’ - y = -x^3 + x^2 - x - 2 $. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, incluindo encontrar a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. Essa parte é importante porque a solução geral será a soma da solução homogênea com uma solução particular que vamos encontrar depois.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituímos $ y = e^{rt} $ na EDO, resultando na equação cúbica característica:
y = e^rt

Passo 4

Vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Testando r = 1:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Então, $ r = 1 $ é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
1 - 1 + 1 - 1 = 0
As raízes são $ r = 1 $ e $ r = \pm i $.

Passo 5

Com as raízes $ r = 1 $, $ r = i $ e $ r = -i $, a solução homogênea é:
r = 1
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’’ - y’’ + y’ - y = -x^3 + x^2 - x - 2 $. Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(x)

Passo 7

Vamos derivar $ y_p(x) $ para substituir na EDO:
yp(x)
Substituindo na equação:
yp'(x) &= 3Ax^2 + 2Bx + C yp''(x) &= 6Ax + 2B yp'''(x) &= 6A

Passo 8

Organizando os termos:
- Ax^3 + (3A - B)x^2 + (-6A + 2B + C)x + (6A - 2B - D) = -x^3 + x^2 - x - 2
Igualando os coeficientes:
- A = -1 3A - B = 1 -6A + 2B + C = -1 6A - 2B - D = -2
Resolvendo o sistema:
A = 1 3(1) - B = 1 Rightarrow B = 2 -6(1) + 2(2) + C = -1 Rightarrow -6 + 4 + C = -1 Rightarrow C = 1 6(1) - 2(2) - D = -2 Rightarrow 6 - 4 - D = -2 Rightarrow D = 4

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp(x) = x^3 + 2x^2 + x + 4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^x + C2 cos(x) + C3 sin(x) + x^3 + 2x^2 + x + 4
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

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