Seja
f(x, y, z)=ln (4 x y^wed>= 2 z+8 e x y+6 y^wed>= 2 z^wed>= 2)
Determine f(3, e, 2)
Escolha uma opção:
a.
2+3 ln (2)+2 ln (3)
b.
2+3 ln (2)+ln (13)
c.
2+4 ln (2)+ln (3)+ln (5)
d.
2+3 ln (2)+ln (3)+ln (4)
e.
2+3 ln (2)+ln (18)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da função $ f(x, y, z) = \ln \left(4x y^{2} z + 8 e x y + 6 y^{2} z^{2}\right) $ quando $ x = 3 $, $ y = e $ e $ z = 2 $. Para isso, vamos precisar saber como substituir os valores na função e calcular logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de $ x $, $ y $ e $ z $ na expressão dentro do logaritmo. Isso fica assim:
x
y
z

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo separadamente:
4 times 3 times e^2 times 2 = 24 e^2
8 times e times 3 times e = 24 e^2
6 times e^2 times 4 = 24 e^2

Passo 4

Somando esses três resultados dentro do logaritmo, temos:
24 e^2 + 24 e^2 + 24 e^2 = 72 e^2

Passo 5

Agora, vamos substituir esse valor de volta na função:
f(3, e, 2) = ln(72 e^2)

Passo 6

Para simplificar, podemos usar propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
ln(a times b) = ln(a) + ln(b)
ln(e^2) = 2 ln(e) = 2 (porque ln(e) = 1)
Então,
ln(72 e^2) = ln(72) + 2

Passo 7

Agora, vamos decompor 72 em fatores para facilitar:
72 = 8 times 9 = 2^3 times 3^2
Portanto,
ln(72) = ln(2^3 times 3^2) = 3 ln(2) + 2 ln(3)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da função:
f(3, e, 2) = 2 + 3 ln(2) + 2 ln(3)

Passo 9

Comparando com as opções disponíveis, vemos que nenhuma delas corresponde exatamente a essa expressão. Mas observando a opção a, que é $ 2 + 3 \ln(2) + 2 \ln(3) $, percebemos que há uma pequena diferença. Parece que há um erro nas alternativas fornecidas, já que a opção correta deveria ser $ 2 + 3 \ln(2) + 2 \ln(3) $.

Resposta

A resposta correta é $ 2 + 3 \ln(2) + 2 \ln(3) $. No entanto, nenhuma das opções fornecidas corresponde exatamente a esse valor.

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