Questão 28. (Continuidade)
Mostre que

Passo 1

Beleza, a gente quer mostrar que a função
f(x)= sin(x),&se x<tfracpi4,[6pt] cos(x),&se x>=tfracpi4
é contínua em todo R. O conteúdo aqui é continuidade de funções — usamos a definição de continuidade (limite de f(x) quando xto a deve dar f(a)) e o fato de que sin(x) e cos(x) são contínuas em todos os reais. O ponto crítico é verificar o “corte” em x=pi/4.]

Passo 2

Primeiro, pegue qualquer x0<pi/4. Nessa região f(x)=sin(x) numa vizinhança de x0. E já sabemos que sin(x) é contínua em todo ponto:
limxto x0sin(x)=sin(x0)
Então
limxto x0f(x) =limxto x0sin(x) =sin(x0) =f(x0)
Isso prova continuidade de f para todo x0<pi/4.

Passo 3

Agora, para qualquer x0>pi/4, a função é f(x)=cos(x) em volta de x0. Como cos(x) também é contínua, vale
limxto x0f(x) =limxto x0cos(x) =cos(x0) =f(x0)
Logo, f é contínua em todo x0>pi/4.

Passo 4

Falta só checar x0=pi/4. A definição manda ver se o limite vindo da esquerda e da direita bate com f(pi/4).
  • Limite pela esquerda:
limxto(pi/4)^-f(x) =limxto(pi/4)^-sin(x) =sin!l(tfracpi4r) =tfracraiz22
  • Limite pela direita:
limxto(pi/4)^+f(x) =limxto(pi/4)^+cos(x) =cos!l(tfracpi4r) =tfracraiz22
  • E o valor da função em x=pi/4 é
fl(tfracpi4r) =cos!l(tfracpi4r) =tfracraiz22
Como
limxto(pi/4)^-f(x) =limxto(pi/4)^+f(x) =fl(tfracpi4r),
af é contínua em x=pi/4.

Resposta

A função f é contínua em todo R.

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