Questão 28. (Continuidade)
Mostre que
Passo 1
Beleza, a gente quer mostrar que a função
é contínua em todo
. O conteúdo aqui é continuidade de funções — usamos a definição de continuidade (limite de
quando
deve dar
) e o fato de que
e
são contínuas em todos os reais. O ponto crítico é verificar o “corte” em
.]
Passo 2
Primeiro, pegue qualquer
. Nessa região
numa vizinhança de
. E já sabemos que
é contínua em todo ponto:
Então
Isso prova continuidade de
para todo
.
Passo 3
Agora, para qualquer
, a função é
em volta de
. Como
também é contínua, vale
Logo,
é contínua em todo
.
Passo 4
Falta só checar
. A definição manda ver se o limite vindo da esquerda e da direita bate com
.
- Limite pela esquerda:
- Limite pela direita:
- E o valor da função em
é
Como
Resposta
A função
é contínua em todo
.