(a) Considere o operador diferencial linear de segunda ordem, dado por
Mostre a fórmula
ou, equivalentemente,
(b) Sabendo que
é uma solução da equação
no intervalo
, use o método de redução de ordem para achar outra solução
linearmente independente de
.
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear de segunda ordem
e pede em (a) a demonstração da fórmula para o produto de duas funções
e
, e em (b) aplicar o método de redução de ordem na equação
sabendo que
é uma solução, para encontrar outra solução linearmente independente.
Passo 2
Expandimos
usando as regras de derivação de produto:
Logo
Passo 3
Agrupando termos reconhecemos
Assim
que é a primeira forma pedida. Subtraindo
de
e recolhendo em
e
obtemos também
que é a forma equivalente.
Passo 4
Para (b), usamos redução de ordem definindo
Calculamos
e substituímos em
Passo 5
A substituição leva a
Integramos:
Logo
Descartando a parte
(proporcional a
), ficamos com
que é linearmente independente de
.
Resposta
(a)
, equivalente a
.
(b) Uma segunda solução é .
(b) Uma segunda solução é