(a) Considere o operador diferencial linear de segunda ordem, dado por
L[y]=P y^prime prime+Q y^prime+R y
Mostre a fórmula
L[f g]=L[f] g+f L[g]-R f g+2 P f^prime g^prime
ou, equivalentemente,
L[f g]=L[f] g+f P g^prime prime+(2 P f^prime+Q f) g^prime
(b) Sabendo que y1=x é uma solução da equação
L[y]=x^2 y^prime prime-x(2-x) y^prime+(2-x) y=0
no intervalo I=R, use o método de redução de ordem para achar outra solução y2=v y1 linearmente independente de y1(em I=R).

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear de segunda ordem
L[y]=P,y''+Q,y'+R,y
e pede em (a) a demonstração da fórmula para o produto de duas funções f e g, e em (b) aplicar o método de redução de ordem na equação
x^2y''-x(2-x)y'+(2-x)y=0
sabendo que y1(x)=x é uma solução, para encontrar outra solução linearmente independente.

Passo 2

Expandimos L[f g] usando as regras de derivação de produto:
(fg)'=f'g+fg',(fg)''=f''g+2f'g'+fg''
Logo
L[f g] = P,(f''g+2f'g'+fg'')+Q,(f'g+fg')+R,fg

Passo 3

Agrupando termos reconhecemos
L[f],g = (P f''+Q f'+R f),g, f,L[g] = f,(P g''+Q g'+R g)
Assim
L[f g] = L[f],g + f,L[g] - R,f,g + 2P,f',g',
que é a primeira forma pedida. Subtraindo Rfg de fL[g] e recolhendo em g'' e g' obtemos também
L[f g] = L[f],g + f,P,g'' + (2P,f' + Q,f),g',
que é a forma equivalente.

Passo 4

Para (b), usamos redução de ordem definindo
y2(x)=v(x),y1(x)=v(x),x
Calculamos
y2' = v',x + v, y2'' = v'',x + 2v',
e substituímos em
x^2y''-x(2-x)y'+(2-x)y=0

Passo 5

A substituição leva a
x^3(v''+v')=0 Longrightarrow v''+v'=0
Integramos:
v' = C1e^-x Longrightarrow v = -C1e^-x+C2
Logo
y2(x)=v(x),x = -C1,x e^-x + C2,x
Descartando a parte C2x (proporcional a y1), ficamos com
y2(x)=x e^-x,
que é linearmente independente de y1(x)=x.

Resposta

(a) L[f g]=L[f],g+f,L[g]-R,f,g+2P,f',g', equivalente a L[f g]=L[f],g+fP,g''+(2P,f'+Q,f),g'.
(b) Uma segunda solução é y2(x)=x,e^-x.

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