Considere a EDO:
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0.
Seja y1(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x) de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação.

Passo 1

Estamos com a EDO
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
e já temos uma solução conhecida y1(x). O objetivo é usar redução de ordem para achar uma segunda solução y2(x), de modo que y1,y2 seja um par de soluções fundamentais.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
Dividindo tudo por x+3, obtemos
y''+x+2x+3,y'-1x+3,y=0,
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P(x)=x+2x+3, Q(x)=-1x+3

Passo 3

A técnica de redução de ordem diz que, se conhecemos y1(x), uma segunda solução pode ser buscada como
y2(x)=y1(x)integral expl(-integral P(x),dxr)y1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos o antiderivado de P(x):
integral P(x),dx =integralx+2x+3,dx =integrall(1-1x+3r),dx =x-ln|x+3|
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expl(-!integral P,dxr) =expl(-x+ln|x+3|r) =(x+3)e^-x

Passo 5

Substituindo no fórmula de y2, vem
y2(x) =y1(x)integral (x+3)e^-xy1(x)^2,dx =y1(x)integral x+3y1(x)^2,e^-x,dx

Resposta

y2(x) =y1(x)integral x+3y1(x)^2,e^-x,dx

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