Exercício 45 - (UDESC, 2020) Considere um prisma cuja base é um hexágono regular e as faces laterais são quadrados. Se o seu volume for 81 raiz316 cm^3, então sua área superficial total é de aproximadamente:
a) 13 cm^2
b) 19 cm^2
c) 25 cm^2
d) 15 cm^2
e) 30 cm^2

Passo 1

O enunciado descreve um prisma cujo polígono de base é um hexágono regular de lado a e cujas faces laterais são quadrados, logo a altura do prisma é h=a. Para resolver, vamos usar:
  • Volume de prisma: V = Abasecdot h.
  • Área de hexágono regular de lado a:
Abase = 3raiz32,a^2
  • Área superficial total:
S = 2Abase + área lateral, á
e como as faces laterais são 6 quadrados de lado a, a área lateral é 6a^2.

Passo 2

Escrevendo o volume com h=a:
V = Abasecdot a = 3raiz32,a^2cdot a = 3raiz32,a^3
Igualando ao valor dado V=81raiz316:
3raiz32,a^3 = 81raiz316 Longrightarrow 32,a^3 = 8116 Longrightarrow a^3 = 8116cdot23 = 278
Logo
a = raiz[3]278 = 32,cm

Passo 3

Agora calculamos a área superficial total:
S = 2Abase + 6a^2 = 2cdot3raiz32,a^2 + 6a^2 = 3raiz3,a^2 + 6a^2 = a^2,(3raiz3+6)

Passo 4

Substituindo a^2 = l(tfrac32r)^2 = tfrac94:
S = 94,(3raiz3+6) = 27raiz3+544 approx 46,764 + 544 = 100,7644 approx 25,19;cm^2
Assim, a alternativa correta é a que mais se aproxima de 25,cm^2.

Resposta

(c) 25 c m^2

Exercícios relacionados