Exercício 42 - (UDESC, 2020) Se as circunferências (x-a)^2+(y-2)^2=5 e (x-6)^2+(y-b)^2=11,25 são tangentes exteriores no ponto ( 3,3 ), então o valor de a +b é igual a:
a) 112
b) 145
c) 192
d) 52
e) 132

Passo 1

O enunciado apresenta duas circunferências
(x-a)^2+(y-2)^2=5 e (x-6)^2+(y-b)^2=11,25
que são tangentes exteriores no ponto (3,3). O conteúdo é geometria analítica de círculos e vamos precisar usar:
  1. a condição de que o ponto de tangência pertence a cada circunferência;
  2. a condição de tangência exterior, que diz que a distância entre os centros é igual à soma dos raios.

Passo 2

Como (3,3) pertence à primeira circunferência, temos
(3-a)^2+(3-2)^2=5 Longrightarrow (3-a)^2+1=5 Longrightarrow (3-a)^2=4
Logo,
3-a=pm2 Longrightarrow a=1ou a=5
De modo semelhante, em (3,3) para a segunda circunferência,
(3-6)^2+(3-b)^2=11,25 Longrightarrow 9+(3-b)^2=11,25 Longrightarrow (3-b)^2=2,25
Logo,
3-b=pm1,5 Longrightarrow b=4,5ou b=1,5

Passo 3

Os centros são C1=(a,2) e C2=(6,b). Os raios valem
r1=raiz5, r2=raiz11,25=3raiz52
Para tangência exterior, a distância d entre C1 e C2 deve satisfazer
d = r1+r2 Long<=ftrightarrow d^2=(r1+r2)^2
Calculamos
(r1+r2)^2 =l(raiz5+tfrac3raiz52r)^2 =l(tfrac5raiz52r)^2 =1254 =31,25
Por outro lado,
d^2=(6-a)^2+(b-2)^2
Testando as quatro combinações (a,b)in1,5times4,5,1,5, apenas (a,b)=(1,4,5)
d^2=(6-1)^2+(4,5-2)^2 =25+6,25 =31,25
As outras escolhas não satisfazem d^2=31,25. Portanto a=1 e b=4,5.

Passo 4

Calculamos
a+b=1+4,5=5,5=112

Resposta

112

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