Exercício 47 - (ITA, 2020) Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160^circ.
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É (são) verdadeira(s):
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas I e II
e) Apenas II e III

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre poliedros e pede quais são verdadeiras. Vamos usar a fórmula de Euler
v - e + f = 2
e, quando precisar, a relação entre soma dos lados das faces e o número de arestas:
sumi=1^f ni = 2e,
onde ni é o número de arestas da i-ésima face.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Todo poliedro com 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.”
Como cada face é quadrângulo, sum ni =4cdot16=64. Mas sum ni=2e, logo
2e=64implies e=32
Pela fórmula de Euler,
v = 2 + e - f = 2 + 32 - 16 = 18
Logo I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160^circ.”
Primeiro achamos v pela fórmula de Euler:
v = 2 + e - f = 2 + 16 - 10 = 8
Agora a soma dos ângulos internos de todas as faces é
sumi=1^10(ni-2),180^circ = l(sum ni -2cdot10r),180^circ = (2e -20),180^circ = (32 -20),180^circ =12cdot180^circ =2160^circ
Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.”
Esses números satisfazem Euler ( 9-22+15=2), mas em qualquer poliedro cada face tem pelo menos 3 arestas, logo
sumi=1^15ni >= 3cdot15 = 45
Por outro lado sum ni =2e = 44 < 45. É impossível, logo III é falsa.

Resposta

Apenas I e II. Alternativa d.

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