Exercício 47 - (ITA, 2020) Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a
.
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É (são) verdadeira(s):
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas I e II
e) Apenas II e III
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas III
d) Apenas I e II
e) Apenas II e III
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre poliedros e pede quais são verdadeiras. Vamos usar a fórmula de Euler
e, quando precisar, a relação entre soma dos lados das faces e o número de arestas:
onde
é o número de arestas da
-ésima face.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Todo poliedro com
faces quadrangulares possui exatamente
vértices e
arestas.”
Como cada face é quadrângulo, . Mas
, logo
Como cada face é quadrângulo,
Pela fórmula de Euler,
Logo I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Em todo poliedro convexo que possui
faces e
arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a
.”
Primeiro achamos pela fórmula de Euler:
Primeiro achamos
Agora a soma dos ângulos internos de todas as faces é
Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Existe um poliedro com
faces,
arestas e
vértices.”
Esses números satisfazem Euler ( ), mas em qualquer poliedro cada face tem pelo menos
arestas, logo
Esses números satisfazem Euler (
Por outro lado
. É impossível, logo III é falsa.
Resposta
Apenas I e II. Alternativa d.