Exercício 43 - (FUVEST, 2017) Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. 0 diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m . Sua altura é igual a 12 m . A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. 0 tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,
a) 4 horas e 50 minutos
b) 5 horas e 20 minutos
c) 5 horas e 50 minutos
d) 6 horas e 20 minutos
e) 6 horas e 50 minutos
Dados: pi é aproximadamente 3,14 . 0 volume V do cone circular reto de altura h e raio de base r é V=13 pi r^2 h.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório em forma de cone reto de raio da base R=4 m e altura H=12 m, que é preenchido com água à vazão constante de 500 L/min. Pede-se o tempo para que a altura do nível de água atinja h=tfrac12H=6 m. Vamos usar a fórmula do volume de um cone e a semelhança de triângulos para relacionar o raio do nível de água com h.

Passo 2

Por semelhança de triângulos, o raio r do cone de água à altura h satisfaz
rh=RH=412=13,
logo
r=h3

Passo 3

O volume de um cone de raio r e altura h é
V=13,pi,r^2,h
Substituindo r=h/3,
V(h)=13,pil(h3r)^2h =127,pi,h^3
Para h=6 m,
V(6)=127,pi,(6)^3 =21627,pi =8pim^3

Passo 4

Convertendo em litros: 1 m ^3 = 1000 L, logo
V(6)=8pi;m^3approx 8times3,14=25,12;m^3=25,120;L

Passo 5

Como a vazão é de 500 L/min, o tempo t necessário é
t=25,120;L500;L/min approx50,24;min

Resposta

O nível de água atinge 6 m de altura em cerca de 50 minutos.

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