Perguntas:
(a) Resolver usando transformada de Laplace.
(b) Resolver usando variação de parâmetros.
(c) Comparar a complexidade dos cálculos em cada método.
Informações relevantes dadas:
A parte homogênea é \,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0.
O termo não-homogêneo é e^{t}.
As três condições iniciais permitem determinar as três constantes da solução geral de terceira ordem.
Não há imagens ou dados faltando.
Passo 2
(a) Laplace — ideias e fórmulas que vou usar (mini-aula):
Definição: a transformada de Laplace de uma função y(t) é Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt.
Propriedade para derivadas (para solução de IVP): \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
Para checar rapidamente: em t=0 tem-se y(0)=1+0-\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}=0 (ok). Derivando e avaliando em 0 confirma y'(0)=1. Portanto (a) está resolvido.
Passo 7
(b) Variação de parâmetros — ideia e fórmula:
Primeiro resolvo a homogênea \,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0\). A equação característica é
\[r^{3}-r=r(r-1)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=0,1,-1.
Uma base de soluções fundamentais é \;y_{1}(t)=1,\\ y_{2}(t)=e^{t},\\ y_{3}(t)=e^{-t}.
A variação de parâmetros procura uma solução particular na forma
onde g(t)\] é o termo não-homogêneo do lado direito (a equação é \(y'''-y' = g(t), aqui g(t)=e^{t}).]
Passo 8
(b) Montando o sistema com y_{1}=1,\\ y_{2}=e^{t},\\ y_{3}=e^{-t}\):
- Derivadas necessárias:
\(y_{1}'=0,\\ y_{1}''=0;\quad y_{2}'=e^{t},\\ y_{2}''=e^{t};\quad y_{3}'=-e^{-t},\\ y_{3}''=e^{-t}.\)
- As três equações para \(u_{1}',u_{2}',u_{3}'\) ficam:
\[\begin{cases} u_{1}'+u_{2}'e^{t}+u_{3}'e^{-t}=0,\\[4pt] 0+u_{2}'e^{t}+u_{3}'(-e^{-t})=0,\\[4pt] 0+u_{2}'e^{t}+u_{3}'e^{-t}=e^{t}. \end{cases}
Das duas últimas equações obtenho um sistema simples para u_{2}'\] e \[u_{3}':
Somando: 2u_{2}'e^{t}=e^{t}\Rightarrow u_{2}'=\tfrac{1}{2}.\]
Substituindo em uma das equações: \(\tfrac{1}{2}e^{t}+u_{3}'e^{-t}=e^{t}\Rightarrow u_{3}'e^{-t}=\tfrac{1}{2}e^{t}\Rightarrow u_{3}'=\tfrac{1}{2}e^{2t}.
Agora uso a primeira equação para u_{1}':
(b) Integro para obter u_{i} (posso escolher constantes de integração zero porque essas constantes geram termos já presentes na solução homogênea e serão ajustadas pelas condições iniciais):
logo y''(0)=B+C_{3}+1=0\Rightarrow B+C_{3}=-1.
Resolvendo o sistema B-C_{3}=\tfrac{1}{2} e B+C_{3}=-1 dá B=-\tfrac{1}{4} e C_{3}=-\tfrac{3}{4}. Então C_{1}=1 (de C_{1}+B+C_{3}=0\Rightarrow C_{1}=1). Voltando a C_{2}=B+\tfrac{3}{4} obtemos C_{2}= -\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{2}, mas não é necessário expor C_{2} se usamos B.
Portanto a solução particular com constantes ajustadas é
(c) Comparação da complexidade — explicando em linguagem direta:
Transformada de Laplace:
Prós: método bastante sistemático para problemas de valor inicial; as condições iniciais são incorporadas automaticamente; reduz a EDO a uma equação algébrica em Y(s); quando o lado direito é combinação de exponenciais, senos, cossenos ou degraus, o método costuma ser rápido.
Contras: exige manipulação algébrica e frações parciais para inverter Y(s); em ordens altas pode aparecer decomposição com pólos múltiplos que requerem cálculos de coeficientes (como aqui).
Variação de parâmetros:
Prós: fornece a forma explícita da solução geral e é um método direto para obter uma solução particular; quando as soluções fundamentais são exponenciais simples, muitas integrações ficam bem diretas (como aqui).
Contras: para ordem maior que 2, requer montar e resolver um sistema linear para as derivadas u_{i}' (sistema de dimensão igual à ordem), e integrar os resultados; esses sistemas podem ser trabalhosos se as funções fundamentais forem complicadas.
Conclusão prática para este problema:
Ambos os métodos foram viáveis e deram o mesmo resultado; o Laplace foi mais direto para incorporar as condições iniciais, mas exigiu frações parciais um pouco trabalhosa. A variação de parâmetros aqui teve passos algébricos simples (resolução de um pequeno sistema linear para u_i' e integrações) — em problemas com exponenciais simples esse método fica competitivo. Em problemas com termos descontínuos ou condições iniciais complicadas, Laplace normalmente leva vantagem.
(c) Laplace: mais sistemático para IVP e incorpora condições iniciais diretamente, mas exige frações parciais para inverter Y(s). Variação de parâmetros: dá a particular explicitamente via um sistema para u_i' e integrações; pode ser mais trabalhoso em ordem alta ou com funções fundamentais complexas. Para este problema ambos tiveram complexidade semelhante; Laplace foi ligeiramente mais direto por tratar as condições iniciais desde o início.