Considere a edo:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime-5 y=0
(a) Verifique que y1(x)=x^5 é uma solução da edo (1).
(b) Use o Método de Redução de Ordem (Teorema D’Alembert) para encontrar a solução geral da edo (1).

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^2y''-3x,y'-5y=0
que é uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem. No item (a) vamos checar que y1(x)=x^5 satisfaz a EDO. No item (b) usaremos o Método de Redução de Ordem (Teorema de D’Alembert) para obter a solução geral.

Passo 2

Para (a), tomamos
y1(x)=x^5
y1'(x)=5x^4
y1''(x)=20x^3

Passo 3

Substituindo na EDO:
x^2,y1''-3x,y1'-5y1 = x^2(20x^3)-3x(5x^4)-5(x^5) =20x^5-15x^5-5x^5 =0
Logo y1(x)=x^5 é solução.

Passo 4

Para (b), primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por x^2:
y''-3x,y'-5x^2,y=0
Aqui P(x)=-tfrac3x. Pelo Teorema de D’Alembert, a segunda solução é
y2(x) = y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 5

Calculemos
integral P(x),dx =integral l(-3xr),dx =-3ln x,
então
e^-integral P(x),dx =e^3ln x =x^3

Passo 6

O integrando fica
e^-integral P,dxy1^2 =x^3(x^5)^2 =x^3x^10 =x^-7,
e
integral x^-7,dx =-16,x^-6
Logo
y2(x) = x^5cdotl(-tfrac16x^-6r) =-tfrac16,x^-1
Podemos tomar y2(x)=x^-1 (constante escala).

Passo 7

A solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
boxed y(x)=C1,x^5+C2,x^-1

Resposta

y(x)=C1x^5+C2x^-1

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