Considere a edo:
(a) Verifique que
é uma solução da edo (1).
(b) Use o Método de Redução de Ordem (Teorema D’Alembert) para encontrar a solução geral da edo (1).
(b) Use o Método de Redução de Ordem (Teorema D’Alembert) para encontrar a solução geral da edo (1).
Passo 1
O enunciado dá a EDO
que é uma equação de Euler–Cauchy de segunda ordem. No item (a) vamos checar que
satisfaz a EDO. No item (b) usaremos o Método de Redução de Ordem (Teorema de D’Alembert) para obter a solução geral.
Passo 2
Para (a), tomamos
Passo 3
Substituindo na EDO:
Logo
é solução.
Passo 4
Para (b), primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por
:
Aqui
. Pelo Teorema de D’Alembert, a segunda solução é
Passo 5
Calculemos
então
Passo 6
O integrando fica
e
Logo
Podemos tomar
(constante escala).
Passo 7
A solução geral é combinação linear das duas soluções independentes: