Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x infty cos (tan ^-1(x))

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftycosl(tan^-1(x)r).
O conteúdo envolve limite de função composta e propriedades das funções inversa do tangente e cosseno, além da continuidade do cosseno em pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
limxtoinftytan^-1(x)=pi2,
pois a função tan^-1(x) é crescente, fica sempre abaixo de pi/2 e se aproxima arbitrariamente de pi/2 quando xtoinfty.

Passo 3

Como o cosseno é contínuo em todo ponto de R, em particular em pi/2, podemos trocar limite e cosseno:
limxtoinftycosl(tan^-1(x)r) =cos!l(limxtoinftytan^-1(x)r) =cos!l(tfracpi2r) =0

Passo 4

Para reforçar a existência do limite, note a identidade (interpretação geométrica): se theta=tan^-1(x), então num triângulo retângulo tangente theta é x/1, logo
costheta=1raiz1+x^2 Longrightarrow cosl(tan^-1(x)r)=1raiz1+x^2
E fica claro que
limxtoinfty1raiz1+x^2=0,
ou seja, o limite existe e vale 0.

Resposta

limxtoinftycosl(tan^-1(x)r)=0

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