Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede
.
O conteúdo envolve limite de função composta e propriedades das funções inversa do tangente e cosseno, além da continuidade do cosseno em pontos do seu domínio.
O conteúdo envolve limite de função composta e propriedades das funções inversa do tangente e cosseno, além da continuidade do cosseno em pontos do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
pois a função
é crescente, fica sempre abaixo de
e se aproxima arbitrariamente de
quando
.
Passo 3
Como o cosseno é contínuo em todo ponto de
, em particular em
, podemos trocar limite e cosseno:
Passo 4
Para reforçar a existência do limite, note a identidade (interpretação geométrica): se
, então num triângulo retângulo tangente
é
, logo
E fica claro que
ou seja, o limite existe e vale
.