Resolva o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} x y^{\prime}-y=x^{2} \operatorname{sen}(x) \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
\begin{cases} x\,y' - y = x^{2}\sin(x),\\\ y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac{2}{\pi}, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver precisamos colocá-la na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
e então usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por x (supondo x\neq0) obtém-se
y' - \frac{1}{x}\,y = x\sin(x),
onde p(x)=-\tfrac1x e q(x)=x\sin(x).

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int -\tfrac1x\,dx\Bigr) =\exp(-\ln|x|) =x^{-1}.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu(x)=x^{-1} obtemos
\frac{1}{x}\,y' - \frac{1}{x^{2}}\,y =\sin(x),
isto é
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)=\sin(x).

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{x}=\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C \quad\Longrightarrow\quad y = x\bigl(-\cos(x)+C\bigr).

Passo 6

Usando a condição inicial y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=\tfrac{2}{\pi}:
\tfrac{\pi}{2}\bigl(-\cos(\tfrac\pi2)+C\bigr) =\tfrac{2}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2}\,C=\tfrac{2}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{4}{\pi^{2}}.

Resposta

\boxed{y(x) = -\,x\cos(x) \;+\;\frac{4\,x}{\pi^{2}}\,.}

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