Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto mínimo da solução.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto mínimo da solução.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
Conteúdo: solução geral de ODE com coeficientes constantes, Teorema de existência e unicidade e análise de ponto crítico para extremante.
Passo 2
Para resolver a ODE, montamos a equação característica
cuja solução é
Impondo as condições iniciais:
Resolvendo o sistema
obtém-se
. Portanto
Passo 3
Esse PVI admite única solução porque é um problema linear de segunda ordem com coeficientes contínuos em toda reta real. Pelo Teorema de existência e unicidade para equações lineares (ou Picard–Lindelöf aplicado ao sistema equivalente de primeira ordem), existe e é única a solução que satisfaz as condições iniciais.
Passo 4
Para achar o ponto mínimo, calculamos
e igualamos a zero:
Nesse ponto
Como
ali, trata-se de mínimo.
Resposta
(a)
(b) Porque é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo pelo Teorema de existência e unicidade tem solução única.
(c) O ponto mínimo é
(b) Porque é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo pelo Teorema de existência e unicidade tem solução única.
(c) O ponto mínimo é