Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y=0 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto mínimo da solução.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 0,
sujeita às condições iniciais
y(0)=2,\quad y'(0)=1.
Conteúdo: solução geral de ODE com coeficientes constantes, Teorema de existência e unicidade e análise de ponto crítico para extremante.

Passo 2

Para resolver a ODE, montamos a equação característica
r^2 - 1 = 0,
cuja solução é r=1\) e \(r=-1\). Assim a solução geral é \[y(t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{-t}.
Impondo as condições iniciais:
y(0)=C_{1}+C_{2}=2,
y'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}\implies y'(0)=C_{1}-C_{2}=1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\\ C_{1}-C_{2}=1, \end{cases}
obtém-se C_{1}=\tfrac{3}{2}\] e \(C_{2}=\tfrac{1}{2}. Portanto
y(t) = \frac{3}{2}e^{t} + \frac{1}{2}e^{-t}.

Passo 3

Esse PVI admite única solução porque é um problema linear de segunda ordem com coeficientes contínuos em toda reta real. Pelo Teorema de existência e unicidade para equações lineares (ou Picard–Lindelöf aplicado ao sistema equivalente de primeira ordem), existe e é única a solução que satisfaz as condições iniciais.

Passo 4

Para achar o ponto mínimo, calculamos
y'(t) = \frac{3}{2}e^{t} - \frac{1}{2}e^{-t},
e igualamos a zero:
\frac{3}{2}e^{t} = \frac{1}{2}e^{-t}\implies 3e^{2t}=1\implies e^{2t}=\frac{1}{3}\implies t=-\frac{1}{2}\ln 3.
Nesse ponto
y\bigl(-\tfrac12\ln 3\bigr) = \frac{3}{2}e^{-\frac12\ln 3} + \frac{1}{2}e^{\frac12\ln 3} = \frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\sqrt{3} = \sqrt{3}.
Como y''(t)=y(t)>0 ali, trata-se de mínimo.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=\frac{3}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{-t}.
(b) Porque é uma ODE linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, logo pelo Teorema de existência e unicidade tem solução única.
(c) O ponto mínimo é
\Bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 3,\;\sqrt{3}\Bigr).

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