Considere a EDO:
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0 (x>0)
(a) Mostre que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^3 são soluções.
(b) Calcule W[y1(x), y2(x)] e verifique a independência linear.
(c) Por que o Wronskiano não pode se anular em x>0 ?

Passo 1

Temos a equação de Cauchy–Euler
x^2y''-4x,y'+6y=0, x>0,
e as funções y1(x)=x^2, y2(x)=x^3.
O que vamos precisar:
  • (a) verificar que cada yi satisfaz a EDO, fazendo derivadas e substituindo;
  • (b) calcular o Wronskiano W[y1,y2](x)= y1(x) & y2(x) y'1(x) & y'2(x) e checar se é não nulo;
  • (c) usar o teorema de Abel (ou a forma explícita de W) para explicar por que não pode zerar em x>0.

Passo 2

Verificação de y1(x)=x^2 e y2(x)=x^3:
Para y1:
y'1=2x, y''1=2,
então
x^2(2)-4x(2x)+6(x^2) =2x^2-8x^2+6x^2=0
Para y2:
y'2=3x^2, y''2=6x,
logo
x^2(6x)-4x(3x^2)+6(x^3) =6x^3-12x^3+6x^3=0
Ambas satisfazem a EDO.

Passo 3

Cálculo do Wronskiano:
W[y1,y2](x) = x^2 & x^3 2x & 3x^2 =x^2cdot3x^2-x^3cdot2x =3x^4-2x^4=x^4

Passo 4

Como em x>0 temos x^4>0, segue W[y1,y2](x)neq0. Portanto y1 e y2 são linearmente independentes em (0,infty).

Passo 5

Pelo teorema de Abel, o Wronskiano de duas soluções de uma EDO linear homogênea satisfaz
W(x)=Cexpl(-integral p(x),dxr),
onde p(x) é o coeficiente de y' dividido pelo de y''. Aqui p(x)=-4/x, então
W(x)=C,e^4ln x=C,x^4
Como a exponencial nunca é zero e x^4>0 para x>0, W não pode se anular nesse domínio.

Resposta

(a) Substituindo nas derivadas de cada caso vê-se que ambas satisfazem a EDO, logo são soluções.
(b)
W[y1,y2](x)=x^4neq0(x>0),
portanto são linearmente independentes.
(c) Pelo teorema de Abel o Wronskiano é da forma C,x^4 (ou como vimos explicitamente), e como x^4>0 em x>0 nunca se anula.

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