Dada a EDO:
(a) Encontre duas soluções linearmente independentes.
(b) Mostre que o Wronskiano dessas soluções é constante.
(b) Mostre que o Wronskiano dessas soluções é constante.
Passo 1
O enunciado dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo da matéria é a resolução por equação característica e, em seguida, o cálculo do Wronskiano para mostrar que é constante.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Resolvendo, obtemos as raízes complexas
Passo 3
Para obter duas soluções linearmente independentes reais, usamos as fórmulas de Euler e escolhemos as funções seno e cosseno. Assim:
Passo 4
Definimos o Wronskiano de
e
como
Calculando as derivadas:
portanto
Passo 5
Como
para todo
, o Wronskiano é de fato uma constante.
Resposta
(a)
e
.
(b) O Wronskiano vale , logo é constante.
(b) O Wronskiano vale