Dada a EDO:
y^prime prime+4 y=0,
(a) Encontre duas soluções linearmente independentes.
(b) Mostre que o Wronskiano dessas soluções é constante.

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0
O conteúdo da matéria é a resolução por equação característica e, em seguida, o cálculo do Wronskiano para mostrar que é constante.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes complexas
r = pm 2i

Passo 3

Para obter duas soluções linearmente independentes reais, usamos as fórmulas de Euler e escolhemos as funções seno e cosseno. Assim:
y1(x) = cos(2x), y2(x) = sin(2x)

Passo 4

Definimos o Wronskiano de e como
Calculando as derivadas:
portanto

Passo 5

Como W(x)=2 para todo x, o Wronskiano é de fato uma constante.

Resposta

(a) y1(x)=cos(2x) e y2(x)=sin(2x).
(b) O Wronskiano vale W(x)=2, logo é constante.

Exercícios relacionados