Questão 1 (valor: 2, 0). Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da seguinte função periódica
y(t)= & período 2 1-|t| & -1<t <= 1 í

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função periódica y(t) e encontrar a sua série de Fourier. A função tem período 2 e é definida por y(t) = 1 - |t| no intervalo -1 < t <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções periódicas, gráficos de funções absolutas e os conceitos básicos da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função y(t) = 1 - |t| no intervalo -1 < t <= 1. A função absoluta |t| cria uma “V”, e ao subtrair isso de 1, a gente tem um triângulo invertido. Então, no intervalo de -1 a 1, o gráfico começa no ponto ( -1, 0 ), sobe até o ponto (0,1) e desce de volta para (1,0). Como a função é periódica com período 2, esse padrão se repete a cada 2 unidades.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier decompoe uma função periódica em uma soma de senos e cossenos. Como nossa função y(t) é par (simétrica em relação ao eixo y), os termos de seno vão dar zero e só precisamos dos cossenos.
A fórmula geral da série de Fourier para uma função par é:
y(t) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi tL)
Aqui, L é a metade do período, ou seja, L = 1 .
Vamos calcular o coeficiente a0 :
a0 = 2T integral-L^L y(t) , dt = 22 integral-1^1 (1 - |t|) , dt = integral-1^1 (1 - |t|) , dt
Calculando a integral:
integral-1^1 1 , dt - integral-1^1 |t| , dt = 2 - ( 12 + 12 ) = 2 - 1 = 1
Então, a0 = 1 .
Agora, para os coeficientes an :
an = 2T integral-L^L y(t) cos(npi tL) dt = integral-1^1 (1 - |t|) cos(npi t) , dt
Devido à simetria da função, podemos simplificar a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
an = 2 integral0^1 (1 - t) cos(npi t) , dt
Resolvendo essa integral por partes, encontramos:
an = 4n^2 pi^2 ( (-1)^n - 1 )

Resposta

A série de Fourier da função y(t) = 1 - |t| com período 2 é dada por:
y(t) = 12 + sumn=1^infty 4n^2 pi^2 ( (-1)^n - 1 ) cos(npi t)

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