Enuncie formalmente o Teorema do principio da Superposição para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem e demonstre sua validade.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e provar o Teorema do Princípio da Superposição aplicado a equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem. Isso envolve (1) definir o operador diferencial linear de segunda ordem
em um intervalo
, e (2) mostrar que, se duas funções
satisfazem
, então qualquer combinação linear delas também satisfaz
.
Passo 2
Enunciado formal do princípio da superposição:
Sejam funções contínuas em um intervalo
com
para todo
. Suponha que
e
sejam duas soluções de
Sejam
em
. Então, para quaisquer constantes reais
e
, a função
é também solução de
em
.
Passo 3
Demonstração usando a linearidade de
:
- Escrevemos
- Como a soma e o produto por constantes se distribuem, isso é
- Sabendo que
e , concluímos
ou seja,
satisfaz
.
Resposta
O Teorema do Princípio da Superposição afirma que, em uma EDO linear homogênea de segunda ordem
se
e
são soluções, então toda combinação linear
também é solução. A prova segue diretamente da linearidade do operador diferencial
.