Enuncie formalmente o Teorema do principio da Superposição para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem e demonstre sua validade.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e provar o Teorema do Princípio da Superposição aplicado a equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem. Isso envolve (1) definir o operador diferencial linear de segunda ordem
L[y]=a2(x),y''+a1(x),y'+a0(x),y
em um intervalo I, e (2) mostrar que, se duas funções y1,y2in C^2(I) satisfazem L[y]=0, então qualquer combinação linear delas também satisfaz L[y]=0.

Passo 2

Enunciado formal do princípio da superposição:
Sejam a2,a1,a0 funções contínuas em um intervalo I com a2(x)neq0 para todo xin I. Suponha que y1 e y2 sejam duas soluções de
L[y]=a2(x),y''+a1(x),y'+a0(x),y=0
em I. Então, para quaisquer constantes reais c1 e c2, a função
y(x)=c1,y1(x)+c2,y2(x)
é também solução de L[y]=0 em I.

Passo 3

Demonstração usando a linearidade de L:
  1. Escrevemos
L[c1y1+c2y2] =a2l(c1y1''+c2y2''r) +a1l(c1y1'+c2y2'r) +a0l(c1y1+c2y2r)
  1. Como a soma e o produto por constantes se distribuem, isso é
c1l(a2y1''+a1y1'+a0y1r) + c2l(a2y2''+a1y2'+a0y2r) = c1,L[y1] + c2,L[y2]
  1. Sabendo que L[y1]=0 e L[y2]=0, concluímos
L[c1y1+c2y2]=c1cdot0 + c2cdot0=0,
ou seja, y=c1y1+c2y2 satisfaz L[y]=0.

Resposta

O Teorema do Princípio da Superposição afirma que, em uma EDO linear homogênea de segunda ordem
a2(x),y''+a1(x),y'+a0(x),y=0,
se y1 e y2 são soluções, então toda combinação linear
y=c1,y1+c2,y2
também é solução. A prova segue diretamente da linearidade do operador diferencial L.

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