Exercício 1 (3,5). Considere a função:
(a) Calcule a primeira derivada de
e estude seu crescimento;
(b) Calcule a segunda derivada de
e estude a concavidade do gráfico de
;
(c) Estude máximos e mínimos de
(se existirem);
(d) Estude as assíntotas de
;
(e) Esboce o gráfico de
.
(b) Calcule a segunda derivada de
(c) Estude máximos e mínimos de
(d) Estude as assíntotas de
(e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado define
com domínio
Precisamos de derivadas para estudar crescimento e concavidade, achar extremos, identificar assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar
usamos a regra do quociente com
,
,
,
.
Como
e
em todo o domínio, temos
logo
é estritamente crescente em cada ramo do domínio.
Passo 3
Para
escrevemos
e aplicamos regra do produto e cadeia:
O sinal de
vem de
e de
. Concluímos:
- em
: denom > e numer > (côncavo para cima); - em
: denom < e numer > (côncavo para baixo); - em
: denom < e numer < (côncavo para cima); - em
: denom > e numer < (côncavo para baixo).
Há ponto de inflexão em, pois muda de sinal ali.
Passo 4
Buscamos extremos em
ou onde
não existe (dentro do domínio).
não tem raiz real.
só deixa de existir em
, mas aí
não está definida. Logo não há máximos nem mínimos locais.
Passo 5
Assíntotas verticais em onde o denominador zera:
e
.
Para ,
Para
logo há assíntota horizontal
. Não há oblíquas pois
.
Passo 6
Com tudo isso podemos esboçar
:
– Passa em .
– Em : cresce de
a
, côncavo para cima.
– Em : cresce de
a
, côncavo para baixo.
– Em : cresce de
a
, côncavo para cima.
– Em : cresce de
a
, côncavo para baixo.
– Assíntotas verticais e horizontal
.
– Passa em
– Em
– Em
– Em
– Em
– Assíntotas verticais
Resposta
(a)
logo
é estritamente crescente.
(b)
(b)
côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
, inflexão em
.
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Assíntotas verticais ,
; assíntota horizontal
.
(e) Gráfico crescente em cada ramo com comportamento e concavidades conforme descrito acima.
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Assíntotas verticais
(e) Gráfico crescente em cada ramo com comportamento e concavidades conforme descrito acima.