Exercício 1 (3,5). Considere a função:
f(x)=-xx^2-4
(a) Calcule a primeira derivada de f e estude seu crescimento;
(b) Calcule a segunda derivada de f e estude a concavidade do gráfico de f;
(c) Estude máximos e mínimos de f (se existirem);
(d) Estude as assíntotas de f;
(e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define
f(x) = -xx^2 - 4
com domínio
xin(-infty,-2),cup,(-2,2),cup,(2,infty)
Precisamos de derivadas para estudar crescimento e concavidade, achar extremos, identificar assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar usamos a regra do quociente com
, , , .
Como e em todo o domínio, temos
logo é estritamente crescente em cada ramo do domínio.

Passo 3

Para f''(x) escrevemos
f'(x)=(x^2+4),(x^2-4)^-2
e aplicamos regra do produto e cadeia:
f''(x) =2x,(x^2-4)^-2 +(x^2+4)(-2)(x^2-4)^-3,(2x) =-2x,(x^2+12)(x^2-4)^3
O sinal de f''(x) vem de
,-2x(x^2+12) e de (x^2-4)^3. Concluímos:
  • em (-infty,-2): denom > 0 e numer > 0Rightarrow f''>0 (côncavo para cima);
  • em (-2,0): denom < 0 e numer > 0Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo);
  • em (0,2): denom < 0 e numer < 0Rightarrow f''>0 (côncavo para cima);
  • em (2,infty): denom > 0 e numer < 0Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
    Há ponto de inflexão em x=0, pois f'' muda de sinal ali.

Passo 4

Buscamos extremos em f'(x)=0 ou onde f' não existe (dentro do domínio).
f'(x)=0;Longrightarrow;x^2+4=0
não tem raiz real. f' só deixa de existir em x=pm2, mas aí f não está definida. Logo não há máximos nem mínimos locais.

Passo 5

Assíntotas verticais em onde o denominador zera: x=-2 e x=2.
Para xtopminfty,
f(x)=-xx^2-4sim -1xto 0,
logo há assíntota horizontal y=0. Não há oblíquas pois deg(denom)>deg(num).

Passo 6

Com tudo isso podemos esboçar f:
– Passa em (0,0).
– Em (-infty,-2): cresce de 0^+ a +infty, côncavo para cima.
– Em (-2,0): cresce de -infty a 0, côncavo para baixo.
– Em (0,2): cresce de 0 a +infty, côncavo para cima.
– Em (2,infty): cresce de -infty a 0^-, côncavo para baixo.
– Assíntotas verticais x=pm2 e horizontal y=0.

Resposta

(a)
logo é estritamente crescente.
(b)
côncavo para cima em , côncavo para baixo em , inflexão em .
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Assíntotas verticais , ; assíntota horizontal .
(e) Gráfico crescente em cada ramo com comportamento e concavidades conforme descrito acima.

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