Considere a EDO:
(a) Dado que a equação característica é
, encontre a solução homogênea.
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado trata da EDO linear de quinta ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é solução geral de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução homogênea a partir das raízes da equação característica, depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para propor a forma da solução particular, ajustando por fatores de ressonância.
Passo 2
A equação característica dada é
cujo conjunto de raízes é
Logo a solução homogênea é a soma das contribuições de cada raiz:
Passo 3
Para o termo forçante
normalmente faríamos
mas como
são raízes da característica de multiplicidade 1, há ressonância de ordem 1, portanto multiplicamos por
:
Passo 4
Para o termo
o modelo não ressonante seria
pois
é polinômio de grau 1. Mas como
é raiz de multiplicidade 3, há ressonância de ordem 3 e multiplicamos por
:
Passo 5
A forma geral da solução particular é a soma das duas partes:
onde
são coeficientes a determinar.
Resposta
A)
B)
B)