Considere a EDO:
y^(5)-6 y^(4)+13 y^(3)-14 y^(2)+12 y^(1)-8 y=cos x+3 x e^2 x
(a) Dado que a equação característica é (r^2+1)(r-2)^3=0, encontre a solução homogênea.
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.

Passo 1

O enunciado trata da EDO linear de quinta ordem com coeficientes constantes
y^(5)-6,y^(4)+13,y^(3)-14,y''+12,y'-8,y=cos x+3x e^2x
O conteúdo envolvido é solução geral de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução homogênea a partir das raízes da equação característica, depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para propor a forma da solução particular, ajustando por fatores de ressonância.

Passo 2

A equação característica dada é
(r^2+1)(r-2)^3=0,
cujo conjunto de raízes é
r=pm i(mu<ip 1), r=2(mu<ip 3)
Logo a solução homogênea é a soma das contribuições de cada raiz:
yh(x)=C1cos x+C2sin x +e^2xl(C3+C4 x+C5 x^2r)

Passo 3

Para o termo forçante cos x normalmente faríamos
yp1(x)=Acos x+Bsin x,
mas como pm i são raízes da característica de multiplicidade 1, há ressonância de ordem 1, portanto multiplicamos por x:
yp1(x)=xl(Acos x+Bsin xr)

Passo 4

Para o termo 3x e^2x o modelo não ressonante seria
yp2(x)=e^2x(M x+N),
pois 3x é polinômio de grau 1. Mas como r=2 é raiz de multiplicidade 3, há ressonância de ordem 3 e multiplicamos por x^3:
yp2(x)=x^3 e^2xl(Cx+Dr)

Passo 5

A forma geral da solução particular é a soma das duas partes:
yp(x) =;xl(Acos x+Bsin xr) ;+;x^3 e^2xl(Cx+Dr),
onde A,B,C,D são coeficientes a determinar.

Resposta

A) yh(x)=C1cos x+C2sin x+e^2xl(C3+C4 x+C5 x^2r)
B) yp(x)=xl(Acos x+Bsin xr)+x^3 e^2xl(Cx+Dr)

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