Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Observamos que em
o termo não está definido (
), mas isso só afeta um termo inicial. Para o estudo de convergência a partir de
, temos uma série de termos positivos e decrescentes, o que nos permite usar o teste de integral.
Passo 2
Definimos a função
válida para
. Note que
e que, por derivação, verifica-se
para
, ou seja,
é contínua, positiva e decrescente em
. Essas condições garantem a aplicação do teste de integral.
Passo 3
Aplicamos o teste de integral, estudando a convergência da integral imprópria
Fazendo a substituição
temos
Calculamos essa integral até um limite
:
Ao levar
, o termo
, logo a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste de integral, como a integral imprópria
diverge, concluímos que a série
também diverge. Como o comportamento assintótico não muda ao incluir
, a série original diverge.
Resposta
A série é divergente, pelo teste de integral.