Determine se a série é convergente ou divergente. Especifique o teste utilizado.
sumn=1^infty 1n raizln (n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1nraizln(n)
é convergente ou divergente. Observamos que em n=1 o termo não está definido ( ln(1)=0), mas isso só afeta um termo inicial. Para o estudo de convergência a partir de n=2, temos uma série de termos positivos e decrescentes, o que nos permite usar o teste de integral.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1xraizln(x),
válida para x>=2. Note que f(x)>0 e que, por derivação, verifica-se f'(x)<0 para x>e, ou seja, f é contínua, positiva e decrescente em [2,infty). Essas condições garantem a aplicação do teste de integral.

Passo 3

Aplicamos o teste de integral, estudando a convergência da integral imprópria
integral2^infty dxxraizln(x)
Fazendo a substituição
u = ln(x), du = dxx,
temos
integral2^infty dxxraizln(x) = integralln(2)^infty duraizu = integralln(2)^infty u^-tfrac12,du
Calculamos essa integral até um limite T:
integralln(2)^T u^-tfrac12,du = l[2raizur]ln(2)^T = 2raizT - 2raizln(2)
Ao levar Ttoinfty, o termo 2raizTtoinfty, logo a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste de integral, como a integral imprópria
integral2^infty dxxraizln(x)
diverge, concluímos que a série
sumn=2^infty 1nraizln(n)
também diverge. Como o comportamento assintótico não muda ao incluir n=1, a série original diverge.

Resposta

A série é divergente, pelo teste de integral.

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