Uma massa de 2 kg provoca um alongamento em uma mola de 0,392 \mathrm{~m}. A massa está presa a um amortecedor com coeficiente de amortecimento \gamma. Observação: Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a) Determine o valor da constante da mola k.
(0,5 ponto)
b) Determine o valor de \gamma para o qual o sistema tem amortecimento crítico.
(1 ponto)
c) Suponha que o coeficiente de amortecimento seja \gamma=12 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Se a massa passa pela posição de equilíbrio com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine quantas vezes o bloco passará pela posição de equilíbrio nos próximos 5 segundos.
(1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa-mola amortecido: massa m=2\,\text{kg} provoca um alongamento x_0=0,392\,\text{m} em equilíbrio estático e está presa a um amortecedor de coeficiente \gamma. A matéria é movimento harmônico amortecido. Para (a) usamos o equilíbrio estático mg=kx_0. Para (b) usamos a condição de amortecimento crítico \gamma^2=4mk. Para (c) resolvemos o caso subamortecido, achamos a frequência amortecida \omega' e contamos os zeros de x(t) no intervalo 0<t\le5\,\text{s}.

Passo 2

Em equilíbrio estático a força peso iguala a força elástica, ou seja
mg = k x_0.
Logo
k = \frac{mg}{x_0} = \frac{2\cdot9,8}{0,392} = 50\\ \text{N/m}.

Passo 3

Para amortecimento crítico vale
\gamma^2 = 4mk,
portanto
\gamma = 2\sqrt{mk} = 2\sqrt{2\cdot50} = 20\\ \text{Ns/m}.

Passo 4

Com \gamma=12\,\text{Ns/m}<\gamma_\text{cr} temos subamortecimento. Definimos
p = \frac{\gamma}{2m} = \frac{12}{2\cdot2} = 3\\ \text{s}^{-1}, \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m} = \frac{50}{2} = 25, \quad \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - p^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\\ \text{rad/s}.
A solução geral com x(0)=0 e x'(0)=v_0=3\,\text{m/s} é
x(t) = C e^{-pt}\sin(\omega' t),
com C = v_0/\omega' = 3/4. Os cruzamentos por x=0 ocorrem quando \sin(\omega't)=0, ou seja
\omega' t_n = n\pi \quad\Longrightarrow\quad t_n = \frac{n\pi}{\omega'} = \frac{n\pi}{4},\quad n=1,2,\dots

Passo 5

Queremos todos t_n\le5. Então
n \le \frac{4\cdot5}{\pi} \approx \frac{20}{3,14} \approx 6,37.
Como n é inteiro positivo, n=1,2,\dots,6. Logo o bloco passa pela posição de equilíbrio 6 vezes em 5 segundos.

Resposta

(a) k=50\\ \text{N/m}
(b) \gamma_{\text{cr}}=20\\ \text{Ns/m}
(c) 6 vezes.

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