Um estudante esqueceu a Regra do Produto para a derivada e cometeu o erro de pensar que [f g]^{\prime}=f^{\prime} g^{\prime}. Contudo, ele teve sorte e obteve a resposta certa. Sabendo que a função f que ele usou era f(x)=\sqrt{x} e sabendo que g(1)=1, encontre a função g.
(2 pontos)

Passo 1

O enunciado diz que o estudante usou erroneamente
[f(x)\,g(x)]' = f'(x)\,g'(x)
mas, por sorte, esse resultado coincidiu com o correto
[f(x)\,g(x)]' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Aqui f(x)=\sqrt{x} e queremos achar g(x) tal que
f'(x)\,g'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 2

A igualdade
f'(x)\,g'(x) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)
pode ser reescrita isolando os termos com g'(x):
f'(x)\,g'(x) - f(x)\,g'(x) = f'(x)\,g(x) \quad\Longrightarrow\quad g'(x)\,\bigl(f'(x)-f(x)\bigr)=f'(x)\,g(x).
Dividindo por g(x)\bigl(f'(x)-f(x)\bigr), obtemos
\frac{g'(x)}{g(x)} \;=\;\frac{f'(x)}{\,f'(x)-f(x)\,}.

Passo 3

Agora substituímos f(x)=\sqrt{x} e f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}. O lado direito fica
\frac{f'(x)}{f'(x)-f(x)} =\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}} =\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac{1-2x}{2\sqrt{x}}} =\frac{1}{1-2x}.
Portanto a equação diferencial é
\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{1}{1-2x}.
Integramos:
\ln|g(x)| = \int \frac{1}{1-2x}\,dx.
Fazendo u=1-2x, du=-2\,dx, vem
\ln|g(x)| = -\tfrac12\ln|1-2x| + C \quad\Longrightarrow\quad g(x)=K\,|1-2x|^{-\tfrac12},
onde K=e^C.

Passo 4

Como pedem g(1)=1 e para x>1/2 temos |1-2x|=2x-1, escrevemos
g(x)=K\,(2x-1)^{-\tfrac12}.
Impondo g(1)=1
1 = g(1) = K\,(2\cdot1-1)^{-\tfrac12} = K\cdot1,
logo K=1. Assim
g(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.

Resposta

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.

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