Considere a EDO:
y^prime prime+2 y^prime+y=0
Encontre a solução geral.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a solução geral da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
A EDO é
y'' + 2y' + y = 0
Vamos usar o método da equação característica para encontrar as raízes e, a partir delas, construir a solução geral.

Passo 2

Formação da equação característica: substituindo y = e^rx na EDO, obtemos a equação para r:
r^2 + 2r + 1 = 0
Calculando o discriminante:
De
Como De, há uma raiz dupla:
r = -22 = -1

Passo 3

Construção da solução geral: para raiz dupla r = -1, a forma da solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^rx
Substituindo r = -1, chegamos a
y(x) = (C1 + C2 x)e^-x

Resposta

y(x) = (C1 + C2 x)e^-x

Exercícios relacionados