Resolva a EDO não homogênea:
Passo 1
Temos a EDO
. É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
A parte homogênea é
. Montamos a equação característica:
As raízes são
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece na solução homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar multiplicando por
. Propomos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos em
:
Igualando a
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma de
com
:
Resposta
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t e^{-t}