Resolva a EDO não homogênea:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 e^-t

Passo 1

Temos a EDO y'' + 3y' + 2y = 4e^-t. É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é y'' + 3y' + 2y = 0. Montamos a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
As raízes são r = -1 e r = -2, logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 4e^-t e e^-t já aparece na solução homogênea, usamos o método dos coeficientes a determinar multiplicando por t. Propomos
yp(t) = A,t,e^-t

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A,e^-t(1 - t)
yp'' = A,e^-t(t - 2)

Passo 5

Substituímos em y'' + 3y' + 2y:
yp'' + 3yp' + 2yp = A e^-t(t - 2) + 3A e^-t(1 - t) + 2A t e^-t = A e^-t
Igualando a 4e^-t obtemos A = 4.

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + 4t e^-t

Resposta

y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t e^{-t}

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