Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir.
d yd x+y^2+3 y+2=0 com y1=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
dydx + y^2 + 3y + 2 = 0
e informa que uma solução particular é y1=-1. Para resolver usamos a transformação clássica para Riccati: dado um y1, definimos
y = y1 + 1v
que sempre leva a uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 2

Fazendo y = -1 + 1v temos
dydx = -1v^2,dvdx
Substituindo em dydx + y^2+3y+2=0 obtemos
-1v^2,dvdx +l(-1+tfrac1vr)^2 +3l(-1+tfrac1vr)+2 =0
Calculando o polinômio:
l(-1+tfrac1vr)^2+3l(-1+tfrac1vr)+2 = 1v^2+1v
Multiplicando tudo por v^2 resulta
-dvdx+v+1=0 Longrightarrow dvdx=v+1

Passo 3

Agora resolvemos a linear
dvdx-v=1
por fator integrante. O fator é mu(x)=e^-x, pois
ddxl(v e^-xr) =e^-x,dvdx -e^-xv =e^-xcdot1
Integrando,
v e^-x = integral e^-x,dx = -e^-x + C Longrightarrow v = Ce^x - 1

Passo 4

Voltando a y:
y = -1 + 1v = -1 + 1Ce^x - 1

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = -1 + 1C,e^x - 1,
onde C é constante arbitrária.

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