Resolva as equações diferenciais de Riccati a seguir.
y^prime=1+x^2-2 x y+y^2 com y1=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
y' = 1 + x^2 - 2 x y + y^2
sabendo que existe a solução particular ,y1(x)=x. Vamos usar a transformação clássica para equações de Riccati, definindo
y = y1 + 1u,
de modo a reduzir o problema a uma equação linear (ou de primeira ordem simples) em u.

Passo 2

Substituindo y = x + tfrac1u na equação original, primeiro calculamos
y' = ddxl(x + tfrac1ur) = 1 - u'u^2
Agora, o lado direito em função de u é
(x + tfrac1u)^2 ;-;2x,(x + tfrac1u);+;(1 + x^2) = x^2 + 2xu + 1u^2 ;-;2x^2 - 2xu ;+;1 + x^2 = 1 + 1u^2
Logo, a equação se torna
1 - u'u^2 = 1 + 1u^2

Passo 3

Cancelando o 1 em ambos os lados e multiplicando por u^2, obtemos
-,u' = 1 Longrightarrow u' = -1
Integramos diretamente:
u(x) = -x + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 4

Voltando à transformação y = x + tfrac1u, temos
y(x) = x + 1-,x + C = x + 1C - x

Resposta

boxedy(x) = x + 1C - x, CinR

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