Considere a EDO:
y^(4)-y^prime=2 t e^t+cos t+3 t
(a) Encontre a solução da equação homogênea.
(Dica: r^3-1=(r-1)(r^2+r+1))
(b) Usando o método de coeficientes indeterminados, encontre a forma da solução particular sem calcular os coeficientes.

Passo 1

Resumindo: temos a EDO linear de coeficientes constantes
y^(4) - y' = 2,t e^t + cos t + 3t,
precisamos (a) achar a solução da homogênea e (b) propor o ansatz da parte particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea é
y^(4) - y' = 0
cuja equação característica é
r^4 - r = r(r^3 -1)=0 implies r=0,;r=1,;r=-1pm iraiz32
Logo,
yh(t)=C1 + C2 e^t + e^-t/2l(C3 cos(tfracraiz32t)+C4sin(tfracraiz32t)r)

Passo 3

Para a parte 2t e^t, fazemos o ansatz padrão P1(t)e^t com P1 polinomial de grau 1, mas como r=1 já é raiz simples, multiplicamos por t. Assim
yp1(t)=t,e^tl(A t + Br)=e^tl(A t^2 + B tr)

Passo 4

Para cos t, como pm i não são raízes da característica, usamos
yp2(t)=Ccos t + Dsin t
Para 3t, polinômio de grau 1, mas r=0 é raiz simples, então multiplicamos o ansatz E t + F por t, obtendo
yp3(t)=tl(E t+Fr)=E t^2 + F t

Passo 5

Somando tudo, a forma geral da solução particular é
yp(t)=e^tl(A t^2 + B tr) + Ccos t + Dsin t + E t^2 + F t,
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar.

Resposta

(a) yh(t)=C1 + C2 e^t + e^-t/2l(C3 cos(tfracraiz32t)+C4sin(tfracraiz32t)r)
(b) yp(t)=e^tl(A t^2 + B tr) + Ccos t + Dsin t + E t^2 + F t

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