Determine a solução geral da equação diferencial:
y^prime prime+2 y^prime+y=t e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = t e^-t
Vamos dividir a resolução em duas partes: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Estudamos primeiro a homogênea
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
cuja única raiz é r=-1 de multiplicidade 2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t

Passo 3

Para a particular, observamos que o termo não homogêneo é t e^-t. Como e^-t já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos a forma polinomial de grau 1 por t^2. Assim fazemos o ansatz
yp(t) = l(A t^3 + B t^2r)e^-t
Se definirmos P(t)=A t^3 + B t^2, então
yp = P(t)e^-t, yp'' + 2yp' + yp = P''(t),e^-t
Precisamos que isso seja igual a t e^-t, ou seja
P''(t) = t

Passo 4

Integramos duas vezes
P''(t)=t ;Longrightarrow; P'(t)=tfract^22 + C ;Longrightarrow; P(t)=tfract^36 + C,t + D
Os termos C,t e D geram soluções da homogênea, então podemos escolher
P(t)=t^36
para obter uma única particular. Assim
yp(t)=t^36,e^-t

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma de yh e yp:
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t + t^36,e^-t = l(C1 + C2,t + tfract^36r)e^-t

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,t + tfract^36r)e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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