Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos dividir a resolução em duas partes: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Estudamos primeiro a homogênea
A equação característica é
cuja única raiz é
de multiplicidade 2. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular, observamos que o termo não homogêneo é
. Como
já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos a forma polinomial de grau 1 por
. Assim fazemos o ansatz
Se definirmos
, então
Precisamos que isso seja igual a
, ou seja
Passo 4
Integramos duas vezes
Os termos
e
geram soluções da homogênea, então podemos escolher
para obter uma única particular. Assim
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma de
e
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.