Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral0^2 integral-raiz2 y-y^2^raiz2 y-y^2 x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
integral0^2 integral-raiz2 y - y^2^raiz2 y - y^2 x , dx , dy
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla que envolve coordinatezas cartesianas. Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares ou simétricas. Vamos precisar entender como converter e para e , além de ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Olhando os limites internos:
x varia de -raiz2 y - y^2 até raiz2 y - y^2 é
Isso sugere uma simetria em relação ao eixo 2y - y^2 = y(2 - y) . Vamos reescrever para facilitar:
Para ser real, , o que implica . Então, a região está limitada por entre 0 e 2, e entre e .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área em coordenadas polares vira . Também precisamos ajustar os limites de e para nossa região.

Passo 4

Vamos identificar a equação da fronteira da região. A expressão x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1 pode ser rearranjada:
r^2 - 2r sintheta = 0 r(r - 2sintheta) = 0
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em . Em coordenadas polares, isso se traduz:
Desse jeito, temos ou . Como é não negativo, a fronteira é .

Passo 5

Vamos determinar os limites de 0 <= theta <= pi . Para o círculo , varia de 0 a , cobrindo a parte superior do plano . Portanto:
E para cada , vai de 0 até .

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
integral0^2 integral-raiz2 y - y^2^raiz2 y - y^2 x , dx , dy = integral0^pi integral0^2sintheta (rcostheta) cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 7

Simplificando a integral em coordenadas polares:
integral0^pi integral0^2sintheta r^2 costheta , dr , dtheta
Agora, vamos integrar em relação a primeiro.

Passo 8

Integrando com respeito a integral0^2sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2sintheta = (2sintheta)^33 = 8sin^3theta3 :
integral0^pi 8sin^3theta3 costheta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 9

Simplificando os constantes:
83 integral0^pi sin^3theta costheta , dtheta
Agora, vamos resolver essa integral usando substituição.

Passo 10

Fazendo a substituição 83 integral0^0 u^3 , du = 0 , então . Quando , ; e quando , . Portanto, a integral se torna:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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