Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla que envolve coordinatezas cartesianas. Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares, que são ótimas para regiões circulares ou simétricas. Vamos precisar entender como converter
e
para
e
, além de ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Olhando os limites internos:
Isso sugere uma simetria em relação ao eixo
. Vamos reescrever
para facilitar:
Para
ser real,
, o que implica
. Então, a região está limitada por
entre 0 e 2, e
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Também precisamos ajustar os limites de
e
para nossa região.
Passo 4
Vamos identificar a equação da fronteira da região. A expressão
pode ser rearranjada:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
. Em coordenadas polares, isso se traduz:
Desse jeito, temos
ou
. Como
é não negativo, a fronteira é
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de
. Para o círculo
,
varia de 0 a
, cobrindo a parte superior do plano
. Portanto:
E para cada
,
vai de 0 até
.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 7
Simplificando a integral em coordenadas polares:
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro.
Passo 8
Integrando com respeito a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Simplificando os constantes:
Agora, vamos resolver essa integral usando substituição.
Passo 10
Fazendo a substituição
, então
. Quando
,
; e quando
,
. Portanto, a integral se torna:
Resposta
O valor da integral dupla é
.