Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(e) 4 y'' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, , (porque não tem termo em ), e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Resolvendo :
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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