Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
(porque não tem termo em
), e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Resolvendo
:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Para raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: