Considere a EDO y^prime=(y^2-x^2) sen(x y)+1.
a) Quantas soluções y=f(x) desta equação são tais que f(0)=0 ? Justifique.
b) Determine se é ou não possível existir uma solução y=f(x) desta EDO tal que f(-1)=f(1)=0. Justifique.

Passo 1

A EDO dada é de primeira ordem e não explícita em y, é: y’= (y^2 - x^2) sen(xy) + 1. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf para existência e unicidade de IVP e, para a parte (b), um argumento sobre a inclinação no ponto em que y=0.

Passo 2

A função f(x,y)= (y^2 - x^2) sen(xy) + 1 é contínua em (x,y) e ∂f/∂y existe e é contínua num retângulo ao redor de (0,0). Logo, pelo Teorema de Picard–Lindelöf, o problema de valor inicial y(0)=0 tem existência e unicidade de solução local. Portanto, há exatamente uma solução y=f(x) com f(0)=0.

Passo 3

Se em algum x₀ tivermos y(x₀)=0, então pela EDO:
y'(x₀)=(0 - x₀^2)sin(0)+1=1>0,
isto é, toda vez que y cruza o eixo em y=0, ela o faz com inclinação positiva. Logo, num cruzamento y(x₀)=0, existe δ>0 tal que para x∈(x₀-δ,x₀) temos y(x)<0 e para x∈(x₀,x₀+δ) temos y(x)>0.

Passo 4

Suponha, por contradição, que exista solução com f(-1)=0 e f(1)=0. Em x=-1, por inclinação positiva, logo após -1 temos y(x)>0; em x=1, logo antes de 1 temos y(x)<0. Como y é contínua, entre pontos onde y>0 e y<0 existe c∈(-1,1) com y©=0. Mas então em c, y passa de negativo para positivo, o que exigiria y(c-)<0. Porém, desde -1 até c nunca houve outro zero, então y em c- seria >0, contradição.

Passo 5

Dessa forma, não pode existir solução com f(-1)=f(1)=0.

Resposta

a) Há exatamente uma solução com f(0)=0, por unicidade do problema de valor inicial. b) Não é possível ter solução com f(-1)=f(1)=0, pois qualquer cruzamento em y=0 ocorre sempre com inclinação positiva, levando a contradição via continuidade de y.

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