O enunciado dá a equação diferencial parcial de segunda ordem em e :
com a condição de contorno ao longo de :
O conteúdo aqui é que, sendo a equação de segunda ordem em , para fixar uma solução única precisamos de duas condições em : uma para e outra para .
Passo 2
Analisando a ordem da EDP em : o termo indica que a determinação única de exige, além de , uma segunda condição em , tipicamente . Como só foi dada u(x,0), falta a condição sobre partial u/partial y.
Passo 3
Sem a segunda condição em y=0, há infinitas funções que satisfazem
x^2uxx(x,y)+y^2uyy(x,y)=0
e ao mesmo tempo
u(x,0)=x^2
Qualquer uma dessas funções difere das outras pela parte que envolve partial u/partial y|y=0, ainda livre.
Passo 4
Portanto, o problema de contorno está mal posto (underdetermined): não há como obter uma única solução sem especificar partial u/partial y|y=0. Em outras palavras, existem infinitas soluções que satisfazem a EDP e u(x,0)=x^2.
Resposta
O problema está mal posto e admite infinitas soluções, pois falta dar a condição partial u/partial y|y=0.