Considere a EDP
x^2 partial^2 upartial x^2+y^2 partial^2 upartial y^2=0
com a condição inicial:
u(x, 0)=x^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial de segunda ordem em x e y:
x^2,partial^2upartial x^2 ;+; y^2,partial^2upartial y^2 ;=;0
com a condição de contorno ao longo de y=0:
u(x,0)=x^2
O conteúdo aqui é que, sendo a equação de segunda ordem em y, para fixar uma solução única precisamos de duas condições em y=0: uma para u e outra para partial u/partial y.

Passo 2

Analisando a ordem da EDP em y: o termo partial^2u/partial y^2 indica que a determinação única de u exige, além de u(x,0), uma segunda condição em y=0, tipicamente partial u/partial y|y=0. Como só foi dada u(x,0), falta a condição sobre partial u/partial y.

Passo 3

Sem a segunda condição em y=0, há infinitas funções que satisfazem
x^2uxx(x,y)+y^2uyy(x,y)=0
e ao mesmo tempo
u(x,0)=x^2
Qualquer uma dessas funções difere das outras pela parte que envolve partial u/partial y|y=0, ainda livre.

Passo 4

Portanto, o problema de contorno está mal posto (underdetermined): não há como obter uma única solução sem especificar partial u/partial y|y=0. Em outras palavras, existem infinitas soluções que satisfazem a EDP e u(x,0)=x^2.

Resposta

O problema está mal posto e admite infinitas soluções, pois falta dar a condição partial u/partial y|y=0.

Exercícios relacionados