Determine a solução geral
das equações diferenciais ordinárias não homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de ordem quarta com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução na forma de exponencial:
Derivando e substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Fatorando:
Isso nos dá as raízes:
-
-
→ (e outras raízes complexas, mas como estamos trabalhando com números reais, consideramos apenas )
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
das raízes complexas. No nosso caso, como temos raízes reais simples
e
, a solução homogênea simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A função não homogênea é a soma de
e
, então vamos buscar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somar.
Passo 6
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes
e
.
Passo 7
Agora, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes
e
.
Passo 8
Somando as soluções particulares:
Determinado os coeficientes, obtemos a solução particular completa.
Passo 9
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.