Determine a solução geral y(t) das equações diferenciais ordinárias não homogêneas
y^(i v)-y^prime=cos (t)+3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea:
y^(iv) - y' = cos(t) + 3t
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de ordem quarta com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^(iv) - y' = 0
Para isso, assumimos uma solução na forma de exponencial:
y = e^rt
Derivando e substituindo na equação, temos:
r^4e^rt - re^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^4 - r = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
r^4 - r = 0
Fatorando:
r(r^3 - 1) = 0
Isso nos dá as raízes:
  1. r = 0
  2. r^3 = 1 r = 1 (e outras raízes complexas, mas como estamos trabalhando com números reais, consideramos apenas r = 1 )

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 + C2 e^t + C3 e^lambda tcos(mu t) + C4 e^lambda tsin(mu t)
Onde lambda = parte real e mu = parte imaginária á das raízes complexas. No nosso caso, como temos raízes reais simples r = 0 e r = 1 , a solução homogênea simplifica para:
yh(t) = C1 + C2 e^t

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa:
y^(iv) - y' = cos(t) + 3t
A função não homogênea é a soma de cos(t) e 3t , então vamos buscar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somar.

Passo 6

Primeiro, para o termo cos(t) , assumimos uma solução particular da forma:
yp1(t) = Acos(t) + Bsin(t)
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes A e B .

Passo 7

Agora, para o termo 3t , assumimos uma solução particular da forma:
yp2(t) = Ct + D
Derivando e substituindo na equação, encontramos os coeficientes C e D .

Passo 8

Somando as soluções particulares:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = Acos(t) + Bsin(t) + Ct + D
Determinado os coeficientes, obtemos a solução particular completa.

Passo 9

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^t + Acos(t) + Bsin(t) + Ct + D

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 e^t + Acos(t) + Bsin(t) + Ct + D
Onde C1, C2, A, B, C e D são constantes arbitrárias.

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