Uma equação da Física Matemática é a equação de Hermite
y^primeprime(x)-2 x y^prime(x)+lambda y(x)=0, -infty<x<infty
em que lambda é constante.
Obs. É interessante notar que se lambda=2 n, n in N, temos que uma das soluções termina em um polinômio, que é determinado a menos de uma constante.
O polinômio de Hermite Hn(x) é definido para lambda=2 n na equação de Hermite e para o qual o coeficiente de x^n é exatamente 2^n
Encontre os polinômios de Hermite H0(x), H2(x) e H3(x)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Hermite
y''(x)-2x,y'(x)+lambda,y(x)=0, -infty<x<infty
e define que, para lambda=2n com ninN, existe um polinômio Hn(x) cuja solução corresponde à parte polinomial dessa equação, com coeficiente de x^n igual a 2^n. Vamos determinar H0(x), H2(x) e H3(x).

Passo 2

Para gerar os polinômios de Hermite recorrentemente, usamos a relação
Hn+1(x)=2x,Hn(x)-2n,Hn-1(x)

Passo 3

Precisamos das condições iniciais:
H0(x)=1 (coeficiente de x^0 é 2^0=1)
e
H1(x)=2x (coeficiente de x^1 é 2^1=2).

Passo 4

Aplicando a recorrência para n=1 obtemos H2(x):
H2(x)=2x,H1(x)-2cdot1cdot H0(x) =2x,(2x)-2cdot1 =4x^2-2

Passo 5

Aplicando a recorrência para n=2 obtemos H3(x):
H3(x)=2x,H2(x)-2cdot2cdot H1(x) =2x,(4x^2-2)-4,(2x) =8x^3-4x-8x =8x^3-12x

Resposta

H0(x)=1
H2(x)=4x^2-2
H3(x)=8x^3-12x

Exercícios relacionados