Determine a solução particular da seguinte equação diferencial:
y^prime+3 y=6 e^-3 x, com y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y' + 3y = 6e^-3x com a condição inicial y(0) = 0 . Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, P(x) = 3 e Q(x) = 6e^-3x .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante mu(x) que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) :
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x
Esse fator vai ajudar a transformar a equação original em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante mu(x) :
e^3x y' + 3e^3x y = 6e^3x e^-3x
Simplificando o lado direito:
e^3x y' + 3e^3x y = 6

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x)y :
ddx (e^3x y) = 6
Isso facilita a resolução, pois agora temos uma equação simples de integração.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (e^3x y) dx = integral 6 dx
O que resulta em:
e^3x y = 6x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^3x :
y = 6x + Ce^3x = (6x + C)e^-3x
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C :
0 = (6 cdot 0 + C)e^0 Rightarrow 0 = C
Então, C = 0 .

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
y = 6x e^-3x

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