Determine a solução particular da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Aqui, a matéria envolvida é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
que é dado por:
Substituindo
:
Esse fator vai ajudar a transformar a equação original em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Isso facilita a resolução, pois agora temos uma equação simples de integração.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então,
.
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: