Considere um elétron aprisionado em um poço de potencial unidimensional infinito com largura de
. Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre
e
.
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de detectar um elétron, que está preso em um poço de potencial unidimensional infinito com largura $ L = 300 , pm $, na primeira energia excitada, dentro da região entre $ x = 0,5L $ e $ x = 0,75L $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre potenciais infinitos e funções de onda. Precisamos conhecer a função de onda do primeiro estado excitado e saber calcular a probabilidade a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para um elétron em um poço de potencial infinito. Para um poço de largura $ L $, as funções de onda são dadas por:
onde $ n $ é o número quântico do estado. Como estamos falando do primeiro estado excitado, isso corresponde a $ n = 2 $.
Passo 3
Agora, substituindo $ n = 2 $ na função de onda, temos:
A probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada região é dada pelo quadrado da função de onda integrada sobre essa região. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular $ |\psi_2(x)|^2 $:
Agora, queremos a probabilidade entre $ x = 0,5L $ e $ x = 0,75L $:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando:
Calculando os limites:
Sabendo que $ \sin(2\pi) = \sin(3\pi) = 0 $:
Resposta
$ P(0,5L, 0,75L) = \frac{1}{4} $