Considere um elétron aprisionado em um poço de potencial unidimensional infinito com largura de L=300 pm. Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre x=0,5 L e x=0,75 L.
Resp: P(0,5 L, 0,75 L)=1 / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de detectar um elétron, que está preso em um poço de potencial unidimensional infinito com largura $ L = 300 , pm $, na primeira energia excitada, dentro da região entre $ x = 0,5L $ e $ x = 0,75L $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre potenciais infinitos e funções de onda. Precisamos conhecer a função de onda do primeiro estado excitado e saber calcular a probabilidade a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de onda para um elétron em um poço de potencial infinito. Para um poço de largura $ L $, as funções de onda são dadas por:
L
onde $ n $ é o número quântico do estado. Como estamos falando do primeiro estado excitado, isso corresponde a $ n = 2 $.

Passo 3

Agora, substituindo $ n = 2 $ na função de onda, temos:
n = 2
A probabilidade de encontrar o elétron em uma determinada região é dada pelo quadrado da função de onda integrada sobre essa região. Ou seja:
psi2(x) = raiz2L sin(2pi xL)

Passo 4

Vamos calcular $ |\psi_2(x)|^2 $:
|psi2(x)|^2
Agora, queremos a probabilidade entre $ x = 0,5L $ e $ x = 0,75L $:
|psi2(x)|^2 = (raiz2L sin(2pi xL))^2 = 2L sin^2(2pi xL)

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso:
P = integral0,5L^0,75L 2L cdot 1 - cos(4pi xL)2 dx = 1L integral0,5L^0,75L (1 - cos(4pi xL)) dx
Integrando:
P = 1L [ x - L4pi sin(4pi xL) ]0,5L^0,75L
Calculando os limites:
P = 1L (0,75L - L4pi sin(3pi) - (0,5L - L4pi sin(2pi)))
Sabendo que $ \sin(2\pi) = \sin(3\pi) = 0 $:
sin(2pi) = sin(3pi) = 0

Resposta

$ P(0,5L, 0,75L) = \frac{1}{4} $

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