Uma partícula está confinada numa região unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em x=0 e x=L. Em comparação com a energia da partícula as barreiras de potencial são tão grandes que podem ser tomadas como infinitas. Considere também que a partícula encontra-se num estado cuja função de onda normalizada é
psi(x)= raiz2L sin (pi xL) & para 0 <= x <= L 0 & para x <= 0 e x >= L
c) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo 0 <= x <= L2 ? Sua resposta pode ser justificada com base no gráfico pedido no item anterior ou por meio de um cálculo direto?
Resp: P(0, L / 2)=1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula presa numa região unidimensional entre x=0 e x=L, com barreiras de potencial infinitas nessas posições. A função de onda normalizada dessa partícula é dada por:
psi(x)= raiz2L sin (pi xL) & para 0 <= x <= L 0 & para x <= 0 e x >= L
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0 <= x <= L2. Para isso, vamos precisar entender como funciona a função de onda e como calcular probabilidades a partir dela usando a mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em um certo intervalo de posição é dada pelo quadrado da função de onda, integrado sobre esse intervalo. Ou seja:
P(a, b) = integrala^b |psi(x)|^2 dx
No nosso caso, queremos P(0, L2).

Passo 3

Vamos calcular |psi(x)|^2 para 0 <= x <= L:
|psi(x)|^2 = (raiz2L sin (pi xL))^2 = 2L sin^2 (pi xL)

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão de 0 até L2 para encontrar a probabilidade:
P(0, L2) = integral0^L2 2L sin^2 (pi xL) dx

Passo 5

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
P(0, L2) = integral0^L2 2L cdot 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L integral0^L2 (1 - cos(2pi xL)) dx

Passo 6

Vamos separar a integral:
1L [ integral0^L2 1 , dx - integral0^L2 cos(2pi xL) dx ]
Calculando cada parte:
  1. integral0^L2 1 , dx = L2
  2. integral0^L2 cos(2pi xL) dx = L2pi sin(2pi xL) |0^L2 = L2pi ( sin(pi) - sin(0) ) = 0

Passo 7

Substituindo de volta:
P(0, L2) = 1L ( L2 - 0 ) = 12

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0 <= x <= L2 é 12.

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