Uma partícula está confinada numa região unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em e . Em comparação com a energia da partícula as barreiras de potencial são tão grandes que podem ser tomadas como infinitas. Considere também que a partícula encontra-se num estado cuja função de onda normalizada é
c) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo ? Sua resposta pode ser justificada com base no gráfico pedido no item anterior ou por meio de um cálculo direto?
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula presa numa região unidimensional entre e , com barreiras de potencial infinitas nessas posições. A função de onda normalizada dessa partícula é dada por:
Nosso objetivo é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como funciona a função de onda e como calcular probabilidades a partir dela usando a mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em um certo intervalo de posição é dada pelo quadrado da função de onda, integrado sobre esse intervalo. Ou seja:
No nosso caso, queremos .
Passo 3
Vamos calcular para :
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar a probabilidade:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Passo 7
Substituindo de volta:
P(0, L2) = 1L ( L2 - 0 ) = 12
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 0 <= x <= L2 é 12.