Considere um elétron que se aproxima de uma barreira de potencial com 2,0 nm de largura e 7,00 eV de altura. Estime qual deve ser a energia deste elétron se ele tiver uma probabilidade de 10 % de tunelar através da barreira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que tá se aproximando de uma barreira de potencial que tem 2,0 nanômetros de largura e 7,00 elétron-volts de altura. O que a gente precisa descobrir é qual deve ser a energia desse elétron para que ele tenha 10% de chance de tunelar (ou passar) por essa barreira. Isso tudo faz parte da mecânica quântica, especificamente sobre o efeito túnel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na mecânica clássica, se um elétron não tem energia suficiente para superar uma barreira de potencial, ele simplesmente não passa. Mas na mecânica quântica, existe uma chance de o elétron “tunelar” através da barreira, mesmo sem ter energia suficiente para ultrapassá-la completamente. Essa probabilidade de tunelamento depende da energia do elétron, da altura e da largura da barreira.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, podemos usar uma aproximação chamada Aproximação WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Para uma barreira de potencial retangular, a probabilidade de tunelamento $ T $ pode ser estimada pela fórmula:
T
onde:
  • $ \gamma = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar} $
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ V $ é a altura da barreira,
  • $ E $ é a energia do elétron,
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ L $ é a largura da barreira.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a energia $ E $ para a qual $ T = 0,10 $ (ou 10%). Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ E $:
E
Substituindo $ \gamma $ na expressão original:
T = 0,10

Passo 5

Agora, vamos isolar $ V - E $:
V - E
raiz2m(V - E) = -hbar ln(T)2L Rightarrow 2m(V - E) = ( hbar ln(T)2L )^2
Finalmente, isolando $ E $:
V - E = 12m ( hbar ln(T)2L )^2

Passo 6

Vamos agora substituir os valores numéricos:
  • Massa do elétron, $ m = 9,11 \times 10^{-31} , kg $
  • Altura da barreira, $ V = 7,00 , eV $ (vamos converter para joules: $ 1 , eV = 1,602 \times 10^{-19} , J $)
  • Largura da barreira, $ L = 2,0 , nm = 2,0 \times 10^{-9} , m $
  • Constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
  • Probabilidade, $ T = 0,10 $
Calculando $ \ln(T) = \ln(0,10) = -2,3026 $

Passo 7

Substituindo na equação de $ E $:
E
Primeiro, calculamos $ \frac{\hbar \ln(T)}{2L} $:
E = V - 12m ( hbar ln(T)2L )^2
Elevando ao quadrado:
hbar ln(T)2L
Agora, dividindo por $ 2m $:
hbar ln(T)2L = 1,055 times 10^-34 times (-2,3026)2 times 2,0 times 10^-9 approx -2,429 times 10^-344,0 times 10^-9 approx -6,073 times 10^-26 , J cdot s/m

Passo 8

Agora, convertendo $ V $ para joules:
V
Então, a energia do elétron:
V = 7,00 , eV times 1,602 times 10^-19 , J/eV approx 1,1214 times 10^-18 , J
Convertendo de volta para elétron-volts:
E = V - 2,046 times 10^-21 , J approx 1,1214 times 10^-18 , J - 2,046 times 10^-21 , J approx 1,1212 times 10^-18 , J

Resposta

A energia do elétron precisa ser aproximadamente $ 7,00 , eV $ para que ele tenha 10 % de probabilidade de tunelar através da barreira de potencial.

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