Considere um elétron que se aproxima de uma barreira de potencial com
de largura e
de altura. Estime qual deve ser a energia deste elétron se ele tiver uma probabilidade de
de tunelar através da barreira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que tá se aproximando de uma barreira de potencial que tem 2,0 nanômetros de largura e 7,00 elétron-volts de altura. O que a gente precisa descobrir é qual deve ser a energia desse elétron para que ele tenha 10% de chance de tunelar (ou passar) por essa barreira. Isso tudo faz parte da mecânica quântica, especificamente sobre o efeito túnel.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na mecânica clássica, se um elétron não tem energia suficiente para superar uma barreira de potencial, ele simplesmente não passa. Mas na mecânica quântica, existe uma chance de o elétron “tunelar” através da barreira, mesmo sem ter energia suficiente para ultrapassá-la completamente. Essa probabilidade de tunelamento depende da energia do elétron, da altura e da largura da barreira.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, podemos usar uma aproximação chamada Aproximação WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Para uma barreira de potencial retangular, a probabilidade de tunelamento $ T $ pode ser estimada pela fórmula:
onde:
- $ \gamma = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar} $
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ V $ é a altura da barreira,
- $ E $ é a energia do elétron,
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ L $ é a largura da barreira.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a energia $ E $ para a qual $ T = 0,10 $ (ou 10%). Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ E $:
Substituindo $ \gamma $ na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ V - E $:
Finalmente, isolando $ E $:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores numéricos:
- Massa do elétron, $ m = 9,11 \times 10^{-31} , kg $
- Altura da barreira, $ V = 7,00 , eV $ (vamos converter para joules: $ 1 , eV = 1,602 \times 10^{-19} , J $)
- Largura da barreira, $ L = 2,0 , nm = 2,0 \times 10^{-9} , m $
- Constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
- Probabilidade, $ T = 0,10 $
Calculando $ \ln(T) = \ln(0,10) = -2,3026 $
Passo 7
Substituindo na equação de $ E $:
Primeiro, calculamos $ \frac{\hbar \ln(T)}{2L} $:
Elevando ao quadrado:
Agora, dividindo por $ 2m $:
Passo 8
Agora, convertendo $ V $ para joules:
Então, a energia do elétron:
Convertendo de volta para elétron-volts:
Resposta
A energia do elétron precisa ser aproximadamente $ 7,00 , eV $ para que ele tenha 10 % de probabilidade de tunelar através da barreira de potencial.