(4,0 \mathrm{pts}) \mathrm{A} posição de uma partícula em função do tempo é dada por:
\vec{r}=(2 m) \hat{i}+[(3 m / s) t] \hat{j}-\left[\left(2 m / s^{3}\right) t^{3}\right] \hat{k}
a) Obtenha a velocidade média no intervalo t=0 \mathrm{~s} atć t=2 s.
b) A velocidade \vec{v}_{(t)} c a accleração \vec{a}_{(t)} instantâneas para t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo em coordenadas cartesianas
\vec{r}(t) = (2\:\mathrm{m})\,\hat\imath + \bigl(3\:\mathrm{m/s}\bigr)\,t\,\hat\jmath - \bigl(2\:\mathrm{m/s^3}\bigr)\,t^3\,\hat k
e pede (a) a velocidade média entre t=0 e t=2\:\mathrm{s}, e (b) a velocidade e a aceleração instantâneas em t=3\:\mathrm{s}. Vamos usar a definição de velocidade média
\bar{\vec v} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
e derivadas de vetor para obter velocidade instantânea \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} e aceleração \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}.

Passo 2

Calculamos primeiro a posição em t=0 e t=2\:\mathrm{s}:
\vec r(0) = (2,\,0,\,0)\:\mathrm{m}, \quad \vec r(2) = \bigl(2,\,3\cdot2,\,-2\cdot2^3\bigr)\:\mathrm{m} = (2,\,6,\,-16)\:\mathrm{m}.
A variação de posição é
\Delta \vec r = \vec r(2)-\vec r(0) = (0,\,6,\,-16)\:\mathrm{m},
e o intervalo de tempo é \Delta t=2\:\mathrm{s}. Logo a velocidade média é
\bar{\vec v} = \frac{(0,6,-16)\:\mathrm{m}}{2\:\mathrm{s}} = (0,\,3,\,-8)\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

Para a velocidade instantânea derivamos componente a componente:
\vec v(t) = \frac{d\vec r}{dt} = 0\,\hat\imath + 3\,\hat\jmath - 6\,t^2\,\hat k \quad(\mathrm{m/s}).
Em t=3\:\mathrm{s} temos
\vec v(3) = (0,\,3,\,-6\cdot3^2)\:\mathrm{m/s} = (0,\,3,\,-54)\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Para a aceleração instantânea derivamos \vec v(t):
\vec a(t) = \frac{d\vec v}{dt} = 0\,\hat\imath + 0\,\hat\jmath - 12\,t\,\hat k \quad(\mathrm{m/s^2}).
Em t=3\:\mathrm{s} obtemos
\vec a(3) = (0,\,0,\,-12\cdot3)\:\mathrm{m/s^2} = (0,\,0,\,-36)\:\mathrm{m/s^2}.

Resposta

a) \displaystyle \bar{\vec v} = (0,\,3,\,-8)\:\mathrm{m/s}
b) \displaystyle \vec v(3) = (0,\,3,\,-54)\:\mathrm{m/s},\quad \vec a(3) = (0,\,0,\,-36)\:\mathrm{m/s^2}

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