Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=2,00 nm. Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo ( Psin(x) ).
Psin(x)=raiz2L sen n piL x
Considerando o estado n=5, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 1,99 nm e 2,00 nm ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar um elétron no estado n=5 de uma caixa unidimensional de comprimento L=2,00,nm entre x=1,99,nm e x=2,00,nm. Usamos densidade de probabilidade |Psi(x)|^2 e calculamos uma integral entre esses limites.

Passo 2

A densidade de probabilidade é
|Psi5(x)|^2 = 2L,sin^2!gl(5pi xLgr)
logo a probabilidade é
P = integral1,99,nm^2,00,nm |Psi5(x)|^2,dx = 2Lintegralx1^x2 sin^2!l(5pi xLr),dx,
com x1=1,99,nm e x2=2,00,nm.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2theta = 1-cos(2theta)2,
então
P = 2Lintegralx1^x21-cosl(2cdot5pi xLr)2,dx = 1Lintegralx1^x2dx - 1Lintegralx1^x2cos!l(10pi xLr),dx
Integrando,
integralx1^x2dx = x2 - x1, integralx1^x2cos!l(tfrac10pi xLr)dx = L10pil[sin!l(tfrac10pi xLr)r]x1^x2
Portanto
P = x2 - x1L - 1Lcdot L10pil[sin!l(tfrac10pi x2Lr) - sin!l(tfrac10pi x1Lr)r] = De<a xL - sin!l(tfrac10pi x2Lr) - sin!l(tfrac10pi x1Lr)10pi

Passo 4

Calculamos numericamente:
De<a x = x2 - x1 = 0,01,nm, logo
tfracDe<a xL = tfrac0,012,00 = 0,005
Agora
sin!l(tfrac10pi x2Lr) = sin(10pi)=0, sin!l(tfrac10pi x1Lr) = sin(9,95pi) = -sin(0,05pi)approx -0,15643
Logo
sin!l(tfrac10pi x2Lr) - sin!l(tfrac10pi x1Lr) = 0 - (-0,15643) = 0,15643,
e
0,1564310piapprox 0,00498

Passo 5

Substituindo em P:
P approx 0,005 - 0,00498 = 0,00002

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 2,0times10^-5.

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